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方程根與函數(shù)零點教學設計

時間:2024-05-05 02:56:21 教學資源 投訴 投稿
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方程根與函數(shù)零點教學設計

  作為一名優(yōu)秀的教育工作者,就不得不需要編寫教學設計,教學設計是教育技術的組成部分,它的功能在于運用系統(tǒng)方法設計教學過程,使之成為一種具有操作性的程序。那么優(yōu)秀的教學設計是什么樣的呢?下面是小編精心整理的方程根與函數(shù)零點教學設計,僅供參考,大家一起來看看吧。

方程根與函數(shù)零點教學設計

方程根與函數(shù)零點教學設計1

  一、教學內(nèi)容解析

  本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點的的概念、函數(shù)零點存在性判定定理。

  函數(shù)f(x)的零點,是中學數(shù)學的一個重要概念,從函數(shù)值與自變量對應的角度看,就是使函數(shù)值為0的實數(shù)x;從方程的角度看,即為相應方程f(x)=0的實數(shù)根,從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點就是函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標.函數(shù)是中學數(shù)學的核心概念,核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識具有廣泛的聯(lián)系性,而函數(shù)的零點就是其中的一個鏈結(jié)點,它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機的聯(lián)系在一起。

  函數(shù)零點的存在性判定定理,其目的就是通過找函數(shù)的零點來研究方程的根,進一步突出函數(shù)思想的應用,也為二分法求方程的近似解作好知識上和思想上的準備。定理不需證明,關鍵在于讓學生通過感知體驗并加以確認,由些需要結(jié)合具體的實例,加強對定理進行全面的認識,比如定理應用的局限性,即定理的前提是函數(shù)的圖象必須是連續(xù)的,定理只能判定函數(shù)的“變號”零點;定理結(jié)論中零點存在但不一定唯一,需要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)作進一步的判斷。

  對函數(shù)與方程的關系有一個逐步認識的過程,教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則.從學生認為較簡單的一元二次方程與相應的二次函數(shù)入手,由具體到一般,建立一元二次方程的根與相應的二次函數(shù)的零點的聯(lián)系,然后將其推廣到一般方程與相應的函數(shù)的.情形。

  函數(shù)與方程相比較,一個“動”,一個“靜”;一個“整體”,一個“局部”。用函數(shù)的觀點研究方程,本質(zhì)上就是將局部的問題放在整體中研究,將靜態(tài)的結(jié)果放在動態(tài)的過程中研究,這為今后進一步學習函數(shù)與不等式等其它知識的聯(lián)系奠定了堅實的基礎。

  本節(jié)是函數(shù)應用的第一課,因此教學時應當站在函數(shù)應用的高度,從函數(shù)與其他知識的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。

  二、教學目標解析

  1.結(jié)合具體的問題,并從特殊推廣到一般,使學生領會函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系,從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。

  2.結(jié)合函數(shù)圖象,通過觀察分析特殊函數(shù)的零點存在的特點,通過問題,理解連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法,并能由此方法判定函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點。了解定理應用的前提條件,應用的局限性,及定理的準確結(jié)論。

  3.通過具體實例,學生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進一步判斷函數(shù)零點的個數(shù)。

  4.在學習過程中,體驗函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。

  三、教學問題診斷分析

  1.通過前面的學習,學生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型,掌握了函數(shù)圖象的一般畫法,及一定的看圖識圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象,判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。對于函數(shù)零點的概念本質(zhì)的理解,學生缺乏的是函數(shù)的觀點,或是函數(shù)應用的意識,造成對函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由此作為函數(shù)應用的第一課時,有必要點明函數(shù)的核心地位,即說明函數(shù)與其他知識的聯(lián)系及其在生活中的應用,初步樹立起函數(shù)應用的意識。并從此出發(fā),通過問題的設置,引導學生思考,再通過實例的確認與體驗,從直觀到抽象,從特殊到一般的學習方式,捅破學生認識上的這層“窗戶紙”。

  2.對于零點存在的判定定理,教材不要求給予其證明,這需要教師提供一定量的具體案例讓學生操作感知,同時鼓勵學生舉例來驗證,最終能自主地獲得并確認該定理的結(jié)論。對于定理的條件和結(jié)論,學生往往考慮不夠深入,需要教師通過具體的問題,引導學生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進行審視。

  3.函數(shù)的零點,體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系,教學中應遵循高中數(shù)學以函數(shù)為主線的這一原則進行聯(lián)結(jié),側(cè)重在從函數(shù)的角度看方程,同時為二分法求方程的近似解作知識和思想上的準備。

  四、教學過程設計

  (一)創(chuàng)設情景,揭示課題

  函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容,它不僅在生活中有著大量的應用,與其他數(shù)學知識有著千絲萬縷的聯(lián)系,若能抓住這一聯(lián)系,你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。

  案例1:周長為定值的矩形

  不妨取l=12

  問題1:求其面積的值:

  顯然面積是一個關于x的一個二次多項式

  ,用幾何畫板演示矩形的變化:

  問題2:求矩形面積的最大值?

  當x取不同值時,代數(shù)式的值也相應隨之變化,你能從函數(shù)的角度審視其中的關系嗎?

  問題3:能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?

  (1)實驗演示的角度進行估計,拖動時難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況;

  (2)解方程:x(6-x)=8

  (3)方程x(6-x)=8能否從函數(shù)的角度來進行描述?

  問題4:

  一般地,對于一般的二次三項式,二次方程與二次函數(shù),它們之間有何聯(lián)系?

  結(jié)論:

  代數(shù)式的值就是相應的函數(shù)值;

  方程的根就是使相應函數(shù)值為0的x的值。

  更一般地

  方程f(x)=0的根,就是使函數(shù)值y=f(x)的函數(shù)值為0的x值,從函數(shù)的角度我們稱之為零點。

  設計意圖:本節(jié)課是函數(shù)應用的第一課,有必要讓學生對函數(shù)的應用有所了解。從具體的問題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在聯(lián)系,并從學生所熟悉的具體的二次函數(shù),推廣到一般的二次函數(shù),再進一步推廣到一般的函數(shù)。

  (二) 互動交流 研討新知

  1.函數(shù)零點的概念:

  對于函數(shù)

  ,把使

  成立的實數(shù)

  叫做函數(shù)

  的零點.

  2.對零點概念的理解

  案例2:觀察圖象

  問題1:此圖象是否能表示函數(shù)?

  問題2:你能從中分析函數(shù)有哪些零點嗎?

  問題3:從函數(shù)圖象的角度,你能對函數(shù)的零點換一種說法嗎?

  結(jié)論:函數(shù)

  的零點就是方程

  實數(shù)根,亦即函數(shù)

  的圖象與

  軸交點的橫坐標.即:

  方程

  有實數(shù)根

  函數(shù)

  的圖象與

  軸有交點

  函數(shù)

  有零點.

  設計意圖:進一步掌握函數(shù)的核心概念,同時通過圖象進行一步完善對函數(shù)零點的全面理解,為下面借助圖象探究零點存在性定理作好一定的鋪墊。

  2.零點存在定理的探究

  案例3:下表是三次函數(shù)

  的部分對應值表:

  問題1:你能從表中找出函數(shù)的零點嗎?

  問題2:結(jié)合圖象與表格,你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點的附近函數(shù)值有何特點?

  生:兩邊的函數(shù)值異號!

  問題3:如果一個函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數(shù)的零點?

  注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫),從而引出零點存在性定理.

  問題4: 有位同學畫了一個圖,認為定理不一定成立,你的看法呢?

  問題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎?

  如1:加強定理的結(jié)論:若在區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,是否意味著函數(shù)f(x)在[a,b]上恰有一個零點?

  如2.將定理反過來:若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上有一個零點,是否一定有f(a)f(b)<0?

  如3:一般化:一個函數(shù)的零點是否都可由上述的定理進行判斷?(反例:同號零點,如案例2中的零點-2)

  設計意圖:通過表格,是為了進一步鞏固對函數(shù)這一概念的全面認識,并為觀察零點存在性定理中函數(shù)值的異號埋下伏筆。通過教師的設問讓學生進一步全面深入地領悟定理的內(nèi)容,而鼓勵學生提問,是培養(yǎng)學生學習主動性和創(chuàng)造能力必要的過程。

  (三)鞏固深化,發(fā)展思維

  例1、求函數(shù)f(x)=㏑x+2x -6的零點個數(shù)。

  設計問題:

  (1)你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點?

  (2)你是如何來確定零點所在的區(qū)間的?請各自選擇。

  (3)零點是唯一的嗎?為什么?

  設計意圖:對所學內(nèi)容鞏固,可以借助<幾何畫板>畫出函數(shù)f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數(shù)值表觀察。

  本題可以使學生意識對零點的區(qū)間是不唯一的,為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎。

  讓學生進一步領悟,零點的唯一性需要借助函數(shù)的單調(diào)性。

  (四)歸納整理,整體認識

  請回顧本節(jié)課所學知識內(nèi)容有哪些?

  所涉及到的主要數(shù)學思想又有哪些?

  你還獲得了什么?

  (五)作業(yè)(略)

方程根與函數(shù)零點教學設計2

  學習目標

  1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù),從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系;

  2.掌握零點存在的判定定理.

  學習過程

  一、課前準備

  (預習教材P86~P88,找出疑惑之處)

  復習1:一元二次方程+bx+c=0(a0)的解法.

  判別式=.

  當0,方程有兩根,為;

  當0,方程有一根,為;

  當0,方程無實根.

  復習2:方程+bx+c=0(a0)的根與二次函數(shù)y=ax+bx+c(a0)的圖象之間有什么關系?

  判別式一元二次方程二次函數(shù)圖象

  二、新課導學

  ※學習探究

  探究任務一:函數(shù)零點與方程的根的關系

  問題:

 、俜匠痰慕鉃椋瘮(shù)的圖象與x軸有個交點,坐標為.

  ②方程的解為,函數(shù)的圖象與x軸有個交點,坐標為.

  ③方程的解為,函數(shù)的圖象與x軸有個交點,坐標為.

  根據(jù)以上結(jié)論,可以得到:

  一元二次方程的根就是相應二次函數(shù)的圖象與x軸交點的.

  你能將結(jié)論進一步推廣到嗎?

  新知:對于函數(shù),我們把使的實數(shù)x叫做函數(shù)的零點(zeropoint).

  反思:

  函數(shù)的零點、方程的實數(shù)根、函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標,三者有什么關系?

  試試:

 。1)函數(shù)的`零點為;(2)函數(shù)的零點為.

  小結(jié):方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸有交點函數(shù)有零點.

  探究任務二:零點存在性定理

  問題:

 、僮鞒龅膱D象,求的值,觀察和的符號

 、谟^察下面函數(shù)的圖象,

  在區(qū)間上零點;0;

  在區(qū)間上零點;0;

  在區(qū)間上零點;0.

  新知:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有<0,那么,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點,即存在,使得,這個c也就是方程的根.

  討論:零點個數(shù)一定是一個嗎?逆定理成立嗎?試結(jié)合圖形來分析.

  ※典型例題

  例1求函數(shù)的零點的個數(shù).

  變式:求函數(shù)的零點所在區(qū)間.

  小結(jié):函數(shù)零點的求法.

 、俅鷶(shù)法:求方程的實數(shù)根;

 、趲缀畏ǎ簩τ诓荒苡们蟾降姆匠,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

  ※動手試試

  練1.求下列函數(shù)的零點:

 。1);

 。2).

  練2.求函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間.

  三、總結(jié)提升

  ※學習小結(jié)

  ①零點概念;②零點、與x軸交點、方程的根的關系;③零點存在性定理

  ※知識拓展

  圖象連續(xù)的函數(shù)的零點的性質(zhì):

 。1)函數(shù)的圖象是連續(xù)的,當它通過零點時(非偶次零點),函數(shù)值變號.

  推論:函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)的,且,那么函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點.

  (2)相鄰兩個零點之間的函數(shù)值保持同號.

  學習評價

  ※自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

  A.很好B.較好C.一般D.較差

  ※當堂檢測(時量:5分鐘滿分:10分)計分:

  1.函數(shù)的零點個數(shù)為().

  A.1B.2C.3D.4

  2.若函數(shù)在上連續(xù),且有.則函數(shù)在上().

  A.一定沒有零點B.至少有一個零點

  C.只有一個零點D.零點情況不確定

  3.函數(shù)的零點所在區(qū)間為().

  A.B.C.D.

  4.函數(shù)的零點為.

  5.若函數(shù)為定義域是R的奇函數(shù),且在上有一個零點.則的零點個數(shù)為.

  課后作業(yè)

  1.求函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間,并畫出它的大致圖象.

  2.已知函數(shù).

  (1)為何值時,函數(shù)的圖象與軸有兩個零點;

 。2)若函數(shù)至少有一個零點在原點右側(cè),求值.

方程根與函數(shù)零點教學設計3

  一、教學目標

 。1)知識與技能:

  結(jié)合二次函數(shù)的圖象,判斷一元二次方程根的存在性及個數(shù),從而了解函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系.理解并會用零點存在性定理。

 。2)過程與方法:

  培養(yǎng)學生觀察、思考、分析、猜想,驗證的能力,并從中體驗從特殊到一般及函數(shù)與方程思想。

 。3)情感態(tài)度與價值觀:

  在引導學生通過自主探究,發(fā)現(xiàn)問題,解決問題的過程中,激發(fā)學生學習熱情和求知欲,體現(xiàn)學生的主體地位,提高學習數(shù)學的興趣。

  二、教學重難點

  重點:體會函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系,掌握零點的概念

  難點:函數(shù)零點與方程根之間的聯(lián)系

  三、教法學法

  以問題為載體,學生活動為主線,以多媒體輔助教學為手段利用探究式教學法,構(gòu)建學生自主探究、合作交流的平臺

  四、教學過程

  1.創(chuàng)設問題情境,引入新課

  問題1求下列方程的根

  師生互動:問題1讓學生通過自主解前3小題,復習一元二次方程根三種情形。

  問題2填寫下表,探究一元二次方程的根與相應二次函數(shù)與x軸的交點的`關系?

  師生互動:讓學生自主完成表格,觀察并總結(jié)數(shù)學規(guī)律

  問題3完成表格,并觀察一元二次方程的根與相應二函數(shù)圖象與x軸交點的關系?

  師生互動:讓學生通過探究,歸納概括所發(fā)現(xiàn)結(jié)論,并能用相對準確的數(shù)學語言表達。

  2.建構(gòu)函數(shù)零點概念

  函數(shù)零點的概念:對于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點。

  思考:

 。1)零點是一個點嗎?

  (2)零點跟方程的根的關系?

  (3)請你說出問題2中3個函數(shù)的零點及個數(shù)?(投影問題2的表格)

  師生互動:教師逐一給出3個問題,讓學生思考回答,教師對回答正確學生給予表揚,不正確學生給予提示與鼓勵。

  3.知識的延伸,得出等價關系

  (1)方程f(x)=0有實數(shù)根(2)函數(shù)y=f(x)有零點

  (3)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點

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