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方程根與函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)
作為一名優(yōu)秀的教育工作者，就不得不需要編寫教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)設(shè)計(jì)是教育技術(shù)的組成部分，它的功能在于運(yùn)用系統(tǒng)方法設(shè)計(jì)教學(xué)過程，使之成為一種具有操作性的程序。那么優(yōu)秀的教學(xué)設(shè)計(jì)是什么樣的呢？下面是小編精心整理的方程根與函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)，僅供參考，大家一起來看看吧。
方程根與函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)1
一、教學(xué)內(nèi)容解析
本節(jié)課的主要內(nèi)容有函數(shù)零點(diǎn)的的概念、函數(shù)零點(diǎn)存在性判定定理。
函數(shù)f(x)的零點(diǎn),是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念,從函數(shù)值與自變量對(duì)應(yīng)的角度看,就是使函數(shù)值為0的實(shí)數(shù)x;從方程的角度看,即為相應(yīng)方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，從函數(shù)的圖形表示看,函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)f(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，核心的根本原因之一在于函數(shù)與其他知識(shí)具有廣泛的聯(lián)系性，而函數(shù)的零點(diǎn)就是其中的一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn),它從不同的角度,將數(shù)與形,函數(shù)與方程有機(jī)的聯(lián)系在一起。
函數(shù)零點(diǎn)的存在性判定定理，其目的就是通過找函數(shù)的零點(diǎn)來研究方程的根，進(jìn)一步突出函數(shù)思想的應(yīng)用，也為二分法求方程的近似解作好知識(shí)上和思想上的準(zhǔn)備。定理不需證明，關(guān)鍵在于讓學(xué)生通過感知體驗(yàn)并加以確認(rèn)，由些需要結(jié)合具體的實(shí)例，加強(qiáng)對(duì)定理進(jìn)行全面的認(rèn)識(shí)，比如定理應(yīng)用的局限性，即定理的前提是函數(shù)的圖象必須是連續(xù)的，定理只能判定函數(shù)的“變號(hào)”零點(diǎn);定理結(jié)論中零點(diǎn)存在但不一定唯一，需要結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)作進(jìn)一步的判斷。
對(duì)函數(shù)與方程的關(guān)系有一個(gè)逐步認(rèn)識(shí)的過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進(jìn)的原則.從學(xué)生認(rèn)為較簡(jiǎn)單的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)入手，由具體到一般，建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的.情形。
函數(shù)與方程相比較,一個(gè)“動(dòng)”，一個(gè)“靜”;一個(gè)“整體”，一個(gè)“局部”。用函數(shù)的觀點(diǎn)研究方程，本質(zhì)上就是將局部的問題放在整體中研究，將靜態(tài)的結(jié)果放在動(dòng)態(tài)的過程中研究，這為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)與不等式等其它知識(shí)的聯(lián)系奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
本節(jié)是函數(shù)應(yīng)用的第一課，因此教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)站在函數(shù)應(yīng)用的高度，從函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系的角度來引入較為適宜。
二、教學(xué)目標(biāo)解析
1.結(jié)合具體的問題，并從特殊推廣到一般，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)函數(shù)與方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。
2.結(jié)合函數(shù)圖象，通過觀察分析特殊函數(shù)的零點(diǎn)存在的特點(diǎn)，通過問題，理解連續(xù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法，并能由此方法判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上存在零點(diǎn)。了解定理應(yīng)用的前提條件，應(yīng)用的局限性，及定理的準(zhǔn)確結(jié)論。
3.通過具體實(shí)例，學(xué)生能結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)進(jìn)一步判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。
4.在學(xué)習(xí)過程中，體驗(yàn)函數(shù)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。
三、教學(xué)問題診斷分析
1.通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)了解一些基本初等函數(shù)的模型，掌握了函數(shù)圖象的一般畫法，及一定的看圖識(shí)圖能力,這為本節(jié)課利用函數(shù)圖象，判斷方程根的存在性提供了一定的知識(shí)基礎(chǔ)。對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的概念本質(zhì)的理解，學(xué)生缺乏的是函數(shù)的觀點(diǎn)，或是函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)，造成對(duì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系缺乏了解。由此作為函數(shù)應(yīng)用的第一課時(shí)，有必要點(diǎn)明函數(shù)的核心地位，即說明函數(shù)與其他知識(shí)的聯(lián)系及其在生活中的應(yīng)用，初步樹立起函數(shù)應(yīng)用的意識(shí)。并從此出發(fā)，通過問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生思考，再通過實(shí)例的確認(rèn)與體驗(yàn)，從直觀到抽象，從特殊到一般的學(xué)習(xí)方式，捅破學(xué)生認(rèn)識(shí)上的這層“窗戶紙”。
2.對(duì)于零點(diǎn)存在的判定定理，教材不要求給予其證明，這需要教師提供一定量的具體案例讓學(xué)生操作感知，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生舉例來驗(yàn)證，最終能自主地獲得并確認(rèn)該定理的結(jié)論。對(duì)于定理的條件和結(jié)論，學(xué)生往往考慮不夠深入，需要教師通過具體的問題，引導(dǎo)學(xué)生從正面、反面、側(cè)面等不同的角度重新進(jìn)行審視。
3.函數(shù)的零點(diǎn)，體現(xiàn)了函數(shù)與方程之間的密切聯(lián)系，教學(xué)中應(yīng)遵循高中數(shù)學(xué)以函數(shù)為主線的這一原則進(jìn)行聯(lián)結(jié)，側(cè)重在從函數(shù)的角度看方程，同時(shí)為二分法求方程的近似解作知識(shí)和思想上的準(zhǔn)備。
四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它不僅在生活中有著大量的應(yīng)用，與其他數(shù)學(xué)知識(shí)有著千絲萬縷的聯(lián)系，若能抓住這一聯(lián)系，你就擁有了一把解決問題的金鑰匙。
案例1：周長為定值的矩形
不妨取l=12
問題1：求其面積的值：
顯然面積是一個(gè)關(guān)于x的一個(gè)二次多項(xiàng)式
，用幾何畫板演示矩形的變化：
問題2：求矩形面積的最大值?
當(dāng)x取不同值時(shí)，代數(shù)式的值也相應(yīng)隨之變化，你能從函數(shù)的角度審視其中的關(guān)系嗎?
問題3：能否使得矩形的面積為8?你是如何分析的?
(1)實(shí)驗(yàn)演示的角度進(jìn)行估計(jì)，拖動(dòng)時(shí)難以恰好出現(xiàn)面積為8的情況;
(2)解方程：x(6-x)=8
(3)方程x(6-x)=8能否從函數(shù)的角度來進(jìn)行描述?
問題4：
一般地，對(duì)于一般的二次三項(xiàng)式，二次方程與二次函數(shù)，它們之間有何聯(lián)系?
結(jié)論：
代數(shù)式的值就是相應(yīng)的函數(shù)值;
方程的根就是使相應(yīng)函數(shù)值為0的x的值。
更一般地
方程f(x)=0的根，就是使函數(shù)值y=f(x)的函數(shù)值為0的x值，從函數(shù)的角度我們稱之為零點(diǎn)。
設(shè)計(jì)意圖:本節(jié)課是函數(shù)應(yīng)用的第一課，有必要讓學(xué)生對(duì)函數(shù)的應(yīng)用有所了解。從具體的問題出發(fā),揭示函數(shù)與代數(shù)式、方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從學(xué)生所熟悉的具體的二次函數(shù)，推廣到一般的二次函數(shù)，再進(jìn)一步推廣到一般的函數(shù)。
(二) 互動(dòng)交流 研討新知
1.函數(shù)零點(diǎn)的概念：
對(duì)于函數(shù)
，把使
成立的實(shí)數(shù)
叫做函數(shù)
的零點(diǎn).
2.對(duì)零點(diǎn)概念的理解
案例2：觀察圖象
問題1：此圖象是否能表示函數(shù)?
問題2：你能從中分析函數(shù)有哪些零點(diǎn)嗎?
問題3：從函數(shù)圖象的角度，你能對(duì)函數(shù)的零點(diǎn)換一種說法嗎?
結(jié)論：函數(shù)
的零點(diǎn)就是方程
實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)
的圖象與
軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即：
方程
有實(shí)數(shù)根
函數(shù)
的圖象與
軸有交點(diǎn)
函數(shù)
有零點(diǎn).
設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步掌握函數(shù)的核心概念，同時(shí)通過圖象進(jìn)行一步完善對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的全面理解，為下面借助圖象探究零點(diǎn)存在性定理作好一定的鋪墊。
2.零點(diǎn)存在定理的探究
案例3：下表是三次函數(shù)
的部分對(duì)應(yīng)值表：
問題1：你能從表中找出函數(shù)的零點(diǎn)嗎?
問題2：結(jié)合圖象與表格，你能發(fā)現(xiàn)此函數(shù)零點(diǎn)的附近函數(shù)值有何特點(diǎn)?
生：兩邊的函數(shù)值異號(hào)!
問題3：如果一個(gè)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,在區(qū)間(a,b)上是否一定存在著函數(shù)的零點(diǎn)?
注意:函數(shù)在區(qū)間上必須是連續(xù)的(圖象能一筆畫),從而引出零點(diǎn)存在性定理.
問題4: 有位同學(xué)畫了一個(gè)圖,認(rèn)為定理不一定成立,你的看法呢?
問題5:你能改變定理的條件或結(jié)論,得到一些新的命題嗎?
如1:加強(qiáng)定理的結(jié)論:若在區(qū)間[a，b]上連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(a)f(b)<0,是否意味著函數(shù)f(x)在[a,b]上恰有一個(gè)零點(diǎn)?
如2.將定理反過來:若連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上有一個(gè)零點(diǎn),是否一定有f(a)f(b)<0?
如3:一般化:一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)是否都可由上述的定理進(jìn)行判斷?(反例:同號(hào)零點(diǎn),如案例2中的零點(diǎn)-2)
設(shè)計(jì)意圖：通過表格，是為了進(jìn)一步鞏固對(duì)函數(shù)這一概念的全面認(rèn)識(shí)，并為觀察零點(diǎn)存在性定理中函數(shù)值的異號(hào)埋下伏筆。通過教師的設(shè)問讓學(xué)生進(jìn)一步全面深入地領(lǐng)悟定理的內(nèi)容，而鼓勵(lì)學(xué)生提問，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性和創(chuàng)造能力必要的過程。
(三)鞏固深化，發(fā)展思維
例1、求函數(shù)f(x)=㏑x+2x -6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。
設(shè)計(jì)問題：
(1)你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點(diǎn)?
(2)你是如何來確定零點(diǎn)所在的區(qū)間的?請(qǐng)各自選擇。
(3)零點(diǎn)是唯一的嗎?為什么?
設(shè)計(jì)意圖：對(duì)所學(xué)內(nèi)容鞏固，可以借助<幾何畫板>畫出函數(shù)f(x)的圖象觀察,也可借助列出函數(shù)值表觀察。
本題可以使學(xué)生意識(shí)對(duì)零點(diǎn)的區(qū)間是不唯一的，為下一節(jié)二分法求方程的近似解奠定基礎(chǔ)。
讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟，零點(diǎn)的唯一性需要借助函數(shù)的單調(diào)性。
(四)歸納整理，整體認(rèn)識(shí)
請(qǐng)回顧本節(jié)課所學(xué)知識(shí)內(nèi)容有哪些?
所涉及到的主要數(shù)學(xué)思想又有哪些?
你還獲得了什么?
(五)作業(yè)(略)
方程根與函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)2
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系；
2.掌握零點(diǎn)存在的判定定理.
學(xué)習(xí)過程
一、課前準(zhǔn)備
�。A(yù)習(xí)教材P86~P88，找出疑惑之處）
復(fù)習(xí)1：一元二次方程+bx+c=0(a0)的解法.
判別式=.
當(dāng)0，方程有兩根，為；
當(dāng)0，方程有一根，為；
當(dāng)0，方程無實(shí)根.
復(fù)習(xí)2：方程+bx+c=0(a0)的根與二次函數(shù)y=ax+bx+c(a0)的圖象之間有什么關(guān)系？
判別式一元二次方程二次函數(shù)圖象
二、新課導(dǎo)學(xué)
※學(xué)習(xí)探究
探究任務(wù)一：函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系
問題：
�、俜匠痰慕鉃椋瘮�(shù)的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為.
�、诜匠痰慕鉃�，函數(shù)的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為.
�、鄯匠痰慕鉃椋瘮�(shù)的圖象與x軸有個(gè)交點(diǎn)，坐標(biāo)為.
根據(jù)以上結(jié)論，可以得到：
一元二次方程的根就是相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的.
你能將結(jié)論進(jìn)一步推廣到嗎？
新知：對(duì)于函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)的零點(diǎn)（zeropoint）.
反思：
函數(shù)的零點(diǎn)、方程的實(shí)數(shù)根、函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，三者有什么關(guān)系？
試試：
（1）函數(shù)的`零點(diǎn)為；（2）函數(shù)的零點(diǎn)為.
小結(jié)：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
探究任務(wù)二：零點(diǎn)存在性定理
問題：
①作出的圖象，求的值，觀察和的符號(hào)
�、谟^察下面函數(shù)的圖象，
在區(qū)間上零點(diǎn)；0；
在區(qū)間上零點(diǎn)；0；
在區(qū)間上零點(diǎn)；0.
新知：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有<0，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)c也就是方程的根.
討論：零點(diǎn)個(gè)數(shù)一定是一個(gè)嗎？逆定理成立嗎？試結(jié)合圖形來分析.
※典型例題
例1求函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
變式：求函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.
小結(jié)：函數(shù)零點(diǎn)的求法.
�、俅鷶�(shù)法：求方程的實(shí)數(shù)根；
�、趲缀畏ǎ簩�(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．
※動(dòng)手試試
練1.求下列函數(shù)的零點(diǎn)：
（1）；
�。�2）.
練2.求函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間.
三、總結(jié)提升
※學(xué)習(xí)小結(jié)
�、倭泓c(diǎn)概念；②零點(diǎn)、與x軸交點(diǎn)、方程的根的關(guān)系；③零點(diǎn)存在性定理
※知識(shí)拓展
圖象連續(xù)的函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì)：
�。�1）函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點(diǎn)時(shí)（非偶次零點(diǎn)），函數(shù)值變號(hào).
推論：函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)的，且，那么函數(shù)在區(qū)間上至少有一個(gè)零點(diǎn).
�。�2）相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值保持同號(hào).
學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)
※自我評(píng)價(jià)你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（）.
A.很好B.較好C.一般D.較差
※當(dāng)堂檢測(cè)（時(shí)量：5分鐘滿分：10分）計(jì)分：
1.函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.
A.1B.2C.3D.4
2.若函數(shù)在上連續(xù)，且有．則函數(shù)在上（）.
A.一定沒有零點(diǎn)B.至少有一個(gè)零點(diǎn)
C.只有一個(gè)零點(diǎn)D.零點(diǎn)情況不確定
3.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）.
A.B.C.D.
4.函數(shù)的零點(diǎn)為.
5.若函數(shù)為定義域是R的奇函數(shù)，且在上有一個(gè)零點(diǎn)．則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
課后作業(yè)
1.求函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間，并畫出它的大致圖象.
2.已知函數(shù).
（1）為何值時(shí)，函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)零點(diǎn)；
�。�2）若函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，求值.
方程根與函數(shù)零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)3
一、教學(xué)目標(biāo)
�。�1）知識(shí)與技能：
結(jié)合二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程根的存在性及個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的聯(lián)系.理解并會(huì)用零點(diǎn)存在性定理。
�。�2）過程與方法：
培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考、分析、猜想，驗(yàn)證的能力，并從中體驗(yàn)從特殊到一般及函數(shù)與方程思想。
（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：
在引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，發(fā)現(xiàn)問題，解決問題的過程中，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和求知欲，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，掌握零點(diǎn)的概念
難點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系
三、教法學(xué)法
以問題為載體，學(xué)生活動(dòng)為主線，以多媒體輔助教學(xué)為手段利用探究式教學(xué)法，構(gòu)建學(xué)生自主探究、合作交流的平臺(tái)
四、教學(xué)過程
1．創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課
問題1求下列方程的根
師生互動(dòng):問題1讓學(xué)生通過自主解前3小題，復(fù)習(xí)一元二次方程根三種情形。
問題2填寫下表，探究一元二次方程的根與相應(yīng)二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的`關(guān)系？
師生互動(dòng):讓學(xué)生自主完成表格，觀察并總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律
問題3完成表格，并觀察一元二次方程的根與相應(yīng)二函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系？
師生互動(dòng):讓學(xué)生通過探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并能用相對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達(dá)。
2．建構(gòu)函數(shù)零點(diǎn)概念
函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)。
思考：
�。�1）零點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)嗎？
�。�2）零點(diǎn)跟方程的根的關(guān)系？
(3)請(qǐng)你說出問題2中3個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)及個(gè)數(shù)？（投影問題2的表格）
師生互動(dòng):教師逐一給出3個(gè)問題，讓學(xué)生思考回答，教師對(duì)回答正確學(xué)生給予表揚(yáng)，不正確學(xué)生給予提示與鼓勵(lì)。
3．知識(shí)的延伸，得出等價(jià)關(guān)系
(1)方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根(2)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)
(3)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)
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