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三角形的角平分線
教學(xué)目標(biāo)：
1、理解三角形的內(nèi)外角平分線定理；
2、會證明三角形的內(nèi)外角平分線定理；
3、通過對定理的證明，學(xué)習(xí)幾何證明方法和作輔助線的方法；
4、培養(yǎng)邏輯思維能力。
教學(xué)重點：
1、幾何證明中的證法分析；
2、添加輔助線的方法。
教學(xué)難點：
如何添加有用的輔助線。
教學(xué)關(guān)鍵：
抓住相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行教學(xué)。
教學(xué)方法：
“四段式”教學(xué)法，即讀、議、講、練。
一、閱讀課本，注意問題
1、復(fù)習(xí)舊知識，回答下列問題
�、僭诘妊切沃�，怎樣從等邊得出等角？又怎樣從等角得出等邊？請畫圖說明。
�、谳o助線的作法中，除了過兩個點連接一條線段外，最常見的就是過某個已知點作某條已知直線的平行線。平行線有哪些性質(zhì)？
�、墼鯓优袛鄡蓚�三角形是相似的？相似三角形最基本的性質(zhì)是什么？
�、軒缀巫C明中怎樣構(gòu)造有用的相似三角形？
2、閱讀課本，弄清楚教材的內(nèi)容，并注意教材上是怎樣講的。
提示：課本上在這一節(jié)講了三角形的內(nèi)外角平分線定理，每個定理各講了一種證明方法。為了敘述定理的需要，課本上還講了線段的內(nèi)分點和外分點兩個概念。最后用一個例題來說明怎樣運用三角形的內(nèi)外角平分線定理。閱讀時要注意課本上有關(guān)問題的敘述、分析以及作輔助線的方法。通過適當(dāng)?shù)穆?lián)想和猜測，找出一些課本上尚未出現(xiàn)的新的證明方法。
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3、注意下列問題：
⑴如圖，等腰中，頂角的平分線交底邊于，那么，圖中出現(xiàn)的相等線段是，，即，。通過比較得到。
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�、迫绻厦鎲栴}中的換成任意三角形，即右圖的，平分，交于，那么，是不是還成立？請同學(xué)們用刻度尺量一量線段的長度，計算，然后再比較（小的誤差忽略不計）。
�、侨切蔚膬�(nèi)角平分線定理說的是什么意思？課本上是怎樣寫已知、求證的？
�、日n本上是怎樣進(jìn)行分析、證明的？都用了哪些學(xué)過的知識？證明的根據(jù)是什么？
�、烧n本上證明的過程中是怎樣作輔助線的？這樣作輔助線的目的是什么？
�、蔬^三點能不能作出有用的輔助線？如果能，輔助線應(yīng)該怎樣作？各能作出幾條？
⑺就作出的輔助線，怎樣尋找證明的思路和方法？分析的過程中用到了哪些知識？
⑻你能不能類似地敘述三角形的外角平分線定理？
�、突卮鹁毩�(xí)中的第一題。
⑽總結(jié)證明方法和作輔助線的方法。
⑾注意內(nèi)分點和外分點兩個概念及其應(yīng)用。
4、閱讀指導(dǎo)叢書《平面幾何》第二冊。
⑴注意輔助線中平行線的作法，通過對圖、 、的觀察分析，找出解決問題的證明方法。
�、茀矔谜叶ɡ碇械拿娣e公式來證明三角形的內(nèi)角平分線定理，既把有關(guān)的知識聯(lián)系起來、拓展了解題思路，又為我們提供了一種比較簡單的解決問題的方法，值得我們借鑒。要注意三角形面積的幾種不同的計算方法。
二、互相討論，解答疑點
1、上面提出的問題，希望大家獨立思考、獨立完成。根據(jù)已有的思路和線索，參照課本上的方法進(jìn)行分析。
2、思考中實在是有困難的同學(xué)，可以和周圍的同學(xué)互相討論，發(fā)表看法；也可以請老師幫助、提示或指點。
3、把同學(xué)之間討論的結(jié)果，整理成一個完整的證明過程，寫出每一步證明的根據(jù)。最后，適當(dāng)?shù)乜偨Y(jié)一些解題的經(jīng)驗和方法。
三、講評糾正，整理內(nèi)容
1、把學(xué)生討論的結(jié)果歸納出來，加以補充說明，糾正錯誤后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸惪偨Y(jié)，點明證題法中的要點。
�、僮C明比例式的依據(jù)是平行截割定理的推論，因此，我們作的輔助線都是平行線。
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�、趶纳鲜鰩追N證明方法可以看出，證明的關(guān)鍵在于通過作輔助線把某些線段“移動”到適當(dāng)?shù)奈恢�，以便根�?jù)平行截割定理的推論得出所要的結(jié)論。
�、圯o助平行線的作法，只能是過、 、三點分別作不過三點的邊（線段）的平行線，和另一條邊（線段）的延長線相交，構(gòu)成一個等腰三角形，達(dá)到“移動”的目的。
2、整理教學(xué)內(nèi)容
�、啪�段的內(nèi)分點和外分點
�。á。┒x：
①在線段上，把線段分成兩條線段的點叫做這條線段的內(nèi)分點。
②在線段的延長線上的點叫做這條線段的外分點。
�。áⅲ┡e例
點在線段上，把線段分成了和兩條線段，所以，點是線段的內(nèi)分點，線段和叫
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做點內(nèi)分線段所得的兩條線段。
點在線段的延長線上，和、兩個端點構(gòu)成了、兩條線段，所以，點是線段的外分點，線段和叫做點外分線段所得的兩條線段。
（ⅲ）條件
�、賰�(nèi)分點的條件：a）在已知線段上；
b）把已知線段分成另外兩條線段。
�、谕夥贮ca）在已知線段的延長線上；
b）和已知線段的兩端點構(gòu)成另外的兩條線段。
�。áぃ┨厥馇闆r
a）線段的中點是不是線段的內(nèi)分點？內(nèi)分點是不是線段的中點？
b）線段的黃金分割點是不是線段的內(nèi)分點？內(nèi)分點是不是線段的黃金分割點？
c）一條已知線段有幾個中點？有幾個黃金分割點？有幾個內(nèi)分點？幾個外分點？
�、迫切蔚膬�(nèi)角平分線定理
�。á。┒ɡ恚喝切蔚膬�(nèi)角平分線分對邊所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。
�。áⅲ┮阎褐校椒�，交于。
求證：。
�。á＃┖唵畏治�
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從結(jié)論來考慮，橫著看，兩個比的前項、在中，兩個比的后項、在中。按照相似三角形的性質(zhì)，只要∽，那么，結(jié)論就是成立的。但是，與不是一對相似三角形，所以，不可能用相似三角形來證明。豎著看，有和，事實上，不成一個三角形。若是從“平行線分兩條線段所得的線段對應(yīng)成比例”（平行截割定理的推論）來考慮，顯然，圖中也沒有平行線。因此，要想得到結(jié)論，只有把其中的某條線段進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊苿樱蛊錁?gòu)成相似三角形的對應(yīng)邊，或者成為兩條直線上被平行線截得的對應(yīng)線段。這樣，我們就確定了輔助線的作法以平行線為主。
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例如，把線段繞著它的端點旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌鹊綀D中的位置（即的延長線）。由于旋轉(zhuǎn)不改變線段的長度，所以，從旋轉(zhuǎn)情況可得。由于平分，所以，連接后可以證明。因此，實際證明時，一般都敘述為“過點作交的延長線于”。不管是哪種說法，其結(jié)果都是一樣的。類似地，我們還可以把線段繞著它的端點旋轉(zhuǎn)適當(dāng)?shù)慕嵌鹊蕉它c落在線段的延長線上，同樣也可以證明。
（ⅳ）證法提要
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�、僮C法一：如上圖，過點作交的延長線于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）。通過等量代換便可以得到結(jié)論。同樣，過點作的平行線和邊的延長線相交，也可以證得結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。共3頁，當(dāng)前第2頁123
�、谧C法二：如右圖，過點作交的延長線于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）。通過等量代換便可以得到所要的結(jié)論。同樣，過點作的平行線和的延長線相交，也可以得到結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。
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③證法三：如右圖，過點作交于，可以得到：a）（為什么？）；b）（為什么？）；c）。通過等量代換便可以得到所要的結(jié)論。同樣，過點作的平行線和相交，也可以得到結(jié)論，證明的方法是完全一樣的。
�、茏C法四：如下頁圖，過點作交于，根據(jù)三角形的面積公式可得：；
又根據(jù)正弦定理的面積公式有：
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��；
通過比較就可以得到：所要的結(jié)論。
�、侨切蔚耐饨瞧椒志�定理
�。á。┒ɡ恚喝切蔚耐饨瞧椒志�外分對邊所得的兩條線段與夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例。
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（ⅱ）已知：中，是的一個外角，平分，交的延長線于。
求證：。
�。á＃┖唵畏治觯海愅瑑�(nèi)角平分線定理的分析方法）
（ⅳ）證法提要；（類同內(nèi)角平分線定理的分析方法）
四、小結(jié)全節(jié)，練習(xí)鞏固
1、小結(jié)
⑴兩個定理
�。á。┤切蔚膬�(nèi)角平分線定理
�。áⅲ┤切蔚耐饨瞧椒志�定理
�、谱C明方法
分為四大類共七種方法。
2、練習(xí)
�、沤滩�，2、3兩題。
�、蒲a充題：
�、佼嬋我庖粋�三角形的某個角的內(nèi)外角平分線，說明內(nèi)外角平分線之間的關(guān)系，證明你的結(jié)論。
②畫等腰三角形的外角平分線，說明外角平分線和底邊之間的關(guān)系，證明你的結(jié)論。
3、作業(yè)
教材，17、18兩題。
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