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高中數(shù)學(xué)教案

時(shí)間:2022-11-08 09:32:03 教案 投訴 投稿

高中數(shù)學(xué)教案合集15篇

  作為一名教職工,有必要進(jìn)行細(xì)致的教案準(zhǔn)備工作,教案是教學(xué)藍(lán)圖,可以有效提高教學(xué)效率。來(lái)參考自己需要的教案吧!下面是小編精心整理的高中數(shù)學(xué)教案,希望能夠幫助到大家。

高中數(shù)學(xué)教案合集15篇

高中數(shù)學(xué)教案1

  兩角差的余弦公式

  【使用說(shuō)明】 1、復(fù)習(xí)教材P124-P127頁(yè),40分鐘時(shí)間完成預(yù)習(xí)學(xué)案

  2、有余力的學(xué)生可在完成探究案中的部分內(nèi)容。

  【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

  知識(shí)與技能:理解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過(guò)程及其結(jié)構(gòu)特征并能靈活運(yùn)用。

  過(guò)程與方法:應(yīng)用已學(xué)知識(shí)和方法思考問(wèn)題,分析問(wèn)題,解決問(wèn)題的能力。

  情感態(tài)度價(jià)值觀:通過(guò)公式推導(dǎo)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

  【重點(diǎn)】通過(guò)探索得到兩角差的余弦公式以及公式的靈活運(yùn)用

  【難點(diǎn)】?jī)山遣钣嘞夜降耐茖?dǎo)過(guò)程

  預(yù)習(xí)自學(xué)案

  一、知識(shí)鏈接

  1、寫(xiě)出的三角函數(shù)線:

  2、向量,的數(shù)量積,

 、俣x:

 、谧鴺(biāo)運(yùn)算法則:

  3、,,那么是否等于呢?

  下面我們就探討兩角差的余弦公式

  二、教材導(dǎo)讀

  1、、兩角差的余弦公式的推導(dǎo)思路

  如圖,建立單位圓O

 。1)利用單位圓上的三角函數(shù)線

  設(shè)

  則

  又OM=OB+BM

  =OB+CP

  =OA_____ +AP_____

  =

  從而得到兩角差的余弦公式:

  ____________________________________

 。2)利用兩點(diǎn)間距離公式

  如圖,角的終邊與單位圓交于A( )

  角的終邊與單位圓交于B( )

  角的終邊與單位圓交于P( )

  點(diǎn)T( )

  AB與PT關(guān)系如何?

  從而得到兩角差的余弦公式:

  ____________________________________

 。3)利用平面向量的知識(shí)

  用表示向量,

  =(,)=(,)

  則。 =

  設(shè)與的'夾角為

 、佼(dāng)時(shí):

  =

  從而得出

  ②當(dāng)時(shí)顯然此時(shí)已經(jīng)不是向量的夾角,在范圍內(nèi),是向量夾角的補(bǔ)角。我們?cè)O(shè)夾角為,則+ =

  此時(shí)=

  從而得出

  2、兩角差的余弦公式

  ____________________________

  三、預(yù)習(xí)檢測(cè)

  1、利用余弦公式計(jì)算的值。

  2、怎樣求的值

  你的疑惑是什么?

  ________________________________________________________

  ______________________________________________________

  探究案

  例1.利用差角余弦公式求的值。

  例2.已知,是第三象限角,求的值。

  訓(xùn)練案

  一、基礎(chǔ)訓(xùn)練題

  1、

  2、

  3、

  二、綜合題

高中數(shù)學(xué)教案2

  第一章:空間幾何體

  1.1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

  一、教學(xué)目標(biāo)

  1.知識(shí)與技能

 。1)通過(guò)實(shí)物操作,增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知。

 。2)能根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特征對(duì)空間物體進(jìn)行分類。

 。3)會(huì)用語(yǔ)言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺(tái)、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征。

 。4)會(huì)表示有關(guān)于幾何體以及柱、錐、臺(tái)的分類。

  2.過(guò)程與方法

  (1)讓學(xué)生通過(guò)直觀感受空間物體,從實(shí)物中概括出柱、錐、臺(tái)、球的幾何結(jié)構(gòu)特征。

 。2)讓學(xué)生觀察、討論、歸納、概括所學(xué)的知識(shí)。

  3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

 。1)使學(xué)生感受空間幾何體存在于現(xiàn)實(shí)生活周?chē),增?qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,同時(shí)提高學(xué)生的觀察能力。

 。2)培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和抽象括能力。

  二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

  重點(diǎn):讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型、概括出柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征。

  難點(diǎn):柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征的概括。

  三、教學(xué)用具

 。1)學(xué)法:觀察、思考、交流、討論、概括。

 。2)實(shí)物模型、投影儀

  四、教學(xué)思路

 。ㄒ唬﹦(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

  1.教師提出問(wèn)題:在我們生活周?chē)杏胁簧儆刑厣慕ㄖ,你能舉出一些例子嗎?這些建筑的幾何結(jié)構(gòu)特征如何?引導(dǎo)學(xué)生回憶,舉例和相互交流。教師對(duì)學(xué)生的活動(dòng)及時(shí)給予評(píng)價(jià)。

  2.所舉的建筑物基本上都是由這些幾何體組合而成的,(展示具有柱、錐、臺(tái)、球結(jié)構(gòu)特征的空間物體),你能通過(guò)觀察。根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這些空間物體進(jìn)行分類嗎?這是我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

 。ǘ、研探新知

  1.引導(dǎo)學(xué)生觀察物體、思考、交流、討論,對(duì)物體進(jìn)行分類,分辯棱柱、圓柱、棱錐。

  2.觀察棱柱的幾何物件以及投影出棱柱的圖片,它們各自的特點(diǎn)是什么?它們的共同特點(diǎn)是什么?

  3.組織學(xué)生分組討論,每小組選出一名同學(xué)發(fā)表本組討論結(jié)果。在此基礎(chǔ)上得出棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征。(1)有兩個(gè)面互相平行;(2)其余各面都是平行四邊形;(3)每相鄰兩上四邊形的公共邊互相平行。概括出棱柱的概念。

  4.教師與學(xué)生結(jié)合圖形共同得出棱柱相關(guān)概念以及棱柱的表示。

  5.提出問(wèn)題:各種這樣的棱柱,主要有什么不同?可不可以根據(jù)不同對(duì)棱柱分類?請(qǐng)列舉身邊具有已學(xué)過(guò)的幾何結(jié)構(gòu)特征的物體,并說(shuō)出組成這些物體的幾何結(jié)構(gòu)特征?它們由哪些基本幾何體組成的?

  6.以類似的方法,讓學(xué)生思考、討論、概括出棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,并得出相關(guān)的概念,分類以及表示。

  7.讓學(xué)生觀察圓柱,并實(shí)物模型演示,如何得到圓柱,從而概括出圓標(biāo)的概念以及相關(guān)的概念及圓柱的表示。

  8.引導(dǎo)學(xué)生以類似的方法思考圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征,以及相關(guān)概念和表示,借助實(shí)物模型演示引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、概括。

  9.教師指出圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體,棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體,圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體。

  10.現(xiàn)實(shí)世界中,我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺(tái)、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成。請(qǐng)列舉身邊具有已學(xué)過(guò)的幾何結(jié)構(gòu)特征的'物體,并說(shuō)出組成這些物體的幾何結(jié)構(gòu)特征?它們由哪些基本幾何體組成的?

 。ㄈ┵|(zhì)疑答辯,排難解惑,發(fā)展思維,教師提出問(wèn)題,讓學(xué)生思考。

  1.有兩個(gè)面互相平行,其余后面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱(舉反例說(shuō)明,如圖)

  2.棱柱的何兩個(gè)平面都可以作為棱柱的底面嗎?

  3.課本P8,習(xí)題1.1A組第1題。

  4.圓柱可以由矩形旋轉(zhuǎn)得到,圓錐可以由直角三角形旋轉(zhuǎn)得到,圓臺(tái)可以由什么圖形旋轉(zhuǎn)得到?如何旋轉(zhuǎn)?

  5.棱臺(tái)與棱柱、棱錐有什么關(guān)系?圓臺(tái)與圓柱、圓錐呢?

  四、鞏固深化

  練習(xí):課本P7練習(xí)1、2(1)(2)

  課本P8習(xí)題1.1第2、3、4題

  五、歸納整理

  由學(xué)生整理學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容

  六、布置作業(yè)

  課本P8練習(xí)題1.1B組第1題

  課外練習(xí)課本P8習(xí)題1.1B組第2題

  1.2.1空間幾何體的三視圖(1課時(shí))

  一、教學(xué)目標(biāo)

  1.知識(shí)與技能

 。1)掌握畫(huà)三視圖的基本技能

 。2)豐富學(xué)生的空間想象力

  2.過(guò)程與方法

  主要通過(guò)學(xué)生自己的親身實(shí)踐,動(dòng)手作圖,體會(huì)三視圖的作用。

  3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

 。1)提高學(xué)生空間想象力

  (2)體會(huì)三視圖的作用

  二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

  重點(diǎn):畫(huà)出簡(jiǎn)單組合體的三視圖

  難點(diǎn):識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體

  三、學(xué)法與教學(xué)用具

  1.學(xué)法:觀察、動(dòng)手實(shí)踐、討論、類比

  2.教學(xué)用具:實(shí)物模型、三角板

  四、教學(xué)思路

  (一)創(chuàng)設(shè)情景,揭開(kāi)課題

  “橫看成嶺側(cè)看成峰”,這說(shuō)明從不同的角度看同一物體視覺(jué)的效果可能不同,要比較真實(shí)反映出物體,我們可從多角度觀看物體,這堂課我們主要學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖。

  在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長(zhǎng)方體、圓柱、圓錐、球的三視圖(正視圖、側(cè)視圖、俯視圖),你能畫(huà)出空間幾何體的三視圖嗎?

 。ǘ⿲(shí)踐動(dòng)手作圖

  1.講臺(tái)上放球、長(zhǎng)方體實(shí)物,要求學(xué)生畫(huà)出它們的三視圖,教師巡視,學(xué)生畫(huà)完后可交流結(jié)果并討論;

  2.教師引導(dǎo)學(xué)生用類比方法畫(huà)出簡(jiǎn)單組合體的三視圖

 。1)畫(huà)出球放在長(zhǎng)方體上的三視圖

 。2)畫(huà)出礦泉水瓶(實(shí)物放在桌面上)的三視圖

  學(xué)生畫(huà)完后,可把自己的作品展示并與同學(xué)交流,總結(jié)自己的作圖心得。

  作三視圖之前應(yīng)當(dāng)細(xì)心觀察,認(rèn)識(shí)了它的基本結(jié)構(gòu)特征后,再動(dòng)手作圖。

  3.三視圖與幾何體之間的相互轉(zhuǎn)化。

 。1)投影出示圖片(課本P10,圖1.2-3)

  請(qǐng)同學(xué)們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么?

  (2)你能畫(huà)出圓臺(tái)的三視圖嗎?

 。3)三視圖對(duì)于認(rèn)識(shí)空間幾何體有何作用?你有何體會(huì)?

  教師巡視指導(dǎo),解答學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的困難,然后讓學(xué)生發(fā)表對(duì)上述問(wèn)題的看法。

  4.請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出1.2-4中其他物體表示的空間幾何體的三視圖,并與其他同學(xué)交流。

 。ㄈ╈柟叹毩(xí)

  課本P12練習(xí)1、2P18習(xí)題1.2A組1

 。ㄋ模w納整理

  請(qǐng)學(xué)生回顧發(fā)表如何作好空間幾何體的三視圖

 。ㄎ澹┱n外練習(xí)

  1.自己動(dòng)手制作一個(gè)底面是正方形,側(cè)面是全等的三角形的棱錐模型,并畫(huà)出它的三視圖。

  2.自己制作一個(gè)上、下底面都是相似的正三角形,側(cè)面是全等的等腰梯形的棱臺(tái)模型,并畫(huà)出它的三視圖。

  1.2.2空間幾何體的直觀圖(1課時(shí))

  一、教學(xué)目標(biāo)

  1.知識(shí)與技能

 。1)掌握斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平設(shè)置的平面圖形的直觀圖。

 。2)采用對(duì)比的方法了解在平行投影下畫(huà)空間圖形與在中心投影下畫(huà)空間圖形兩種方法的各自特點(diǎn)。

  2.過(guò)程與方法

  學(xué)生通過(guò)觀察和類比,利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出空間幾何體的直觀圖。

  3.情感態(tài)度與價(jià)值觀

 。1)提高空間想象力與直觀感受。

  (2)體會(huì)對(duì)比在學(xué)習(xí)中的作用。

  (3)感受幾何作圖在生產(chǎn)活動(dòng)中的應(yīng)用。

  二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

  重點(diǎn)、難點(diǎn):用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何值的直觀圖。

  三、學(xué)法與教學(xué)用具

  1.學(xué)法:學(xué)生通過(guò)作圖感受圖形直觀感,并自然采用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何體的過(guò)程。

  2.教學(xué)用具:三角板、圓規(guī)

  四、教學(xué)思路

 。ㄒ唬﹦(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

  1.我們都學(xué)過(guò)畫(huà)畫(huà),這節(jié)課我們畫(huà)一物體:圓柱

  把實(shí)物圓柱放在講臺(tái)上讓學(xué)生畫(huà)。

  2.學(xué)生畫(huà)完后展示自己的結(jié)果并與同學(xué)交流,比較誰(shuí)畫(huà)的效果更好,思考怎樣才能畫(huà)好物體的直觀圖呢?這是我們這節(jié)主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

 。ǘ┭刑叫轮

  1.例1,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的正六邊形的直觀圖,由學(xué)生閱讀理解,并思考斜二測(cè)畫(huà)法的關(guān)鍵步驟,學(xué)生發(fā)表自己的見(jiàn)解,教師及時(shí)給予點(diǎn)評(píng)。

  畫(huà)水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置,因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定,依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫(huà)出多邊形來(lái),因此平面多邊形水平放置時(shí),直觀圖的畫(huà)法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法。強(qiáng)調(diào)斜二測(cè)畫(huà)法的步驟。

  練習(xí)反饋

  根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法,畫(huà)出水平放置的正五邊形的直觀圖,讓學(xué)生獨(dú)立完成后,教師檢查。

  2.例2,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的圓的直觀圖

  教師引導(dǎo)學(xué)生與例1進(jìn)行比較,與畫(huà)水平放置的多邊形的直觀圖一樣,畫(huà)水平放置的圓的直觀圖,也是要先畫(huà)出一些有代表性的點(diǎn),由于不能像多邊那樣直接以頂點(diǎn)為代表點(diǎn),因此需要自己構(gòu)造出一些點(diǎn)。

  教師組織學(xué)生思考、討論和交流,如何構(gòu)造出需要的一些點(diǎn),與學(xué)生共同完成例2并詳細(xì)板書(shū)畫(huà)法。

  3.探求空間幾何體的直觀圖的畫(huà)法

  (1)例3,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)長(zhǎng)、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長(zhǎng)方體ABCD-A’B’C’D’的直觀圖。

  教師引導(dǎo)學(xué)生完成,要注意對(duì)每一步驟提出嚴(yán)格要求,讓學(xué)生按部就班地畫(huà)好每一步,不能敷衍了事。

 。2)投影出示幾何體的三視圖、課本P15圖1.2-9,請(qǐng)說(shuō)出三視圖表示的幾何體?并用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖。教師組織學(xué)生思考,討論和交流完成,教師巡視幫不懂的同學(xué)解疑,引導(dǎo)學(xué)生正確把握?qǐng)D形尺寸大小之間的關(guān)系。

  4.平行投影與中心投影

  投影出示課本P17圖1.2-12,讓學(xué)生觀察比較概括在平行投影下畫(huà)空間圖形與在中心投影下畫(huà)空間圖形的各自特點(diǎn)。

  5.鞏固練習(xí),課本P16練習(xí)1(1),2,3,4

  三、歸納整理

  學(xué)生回顧斜二測(cè)畫(huà)法的關(guān)鍵與步驟

  四、作業(yè)

  1.書(shū)畫(huà)作業(yè),課本P17練習(xí)第5題

  2.課外思考課本P16,探究(1)(2)

高中數(shù)學(xué)教案3

  教學(xué)目標(biāo):

  1.結(jié)合實(shí)際問(wèn)題情景,理解分層抽樣的必要性和重要性;

  2.學(xué)會(huì)用分層抽樣的方法從總體中抽取樣本;

  3.并對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣及分層抽樣方法進(jìn)行比較,揭示其相互關(guān)系.

  教學(xué)重點(diǎn):

  通過(guò)實(shí)例理解分層抽樣的方法.

  教學(xué)難點(diǎn):

  分層抽樣的步驟.

  教學(xué)過(guò)程:

  一、問(wèn)題情境

  1.復(fù)習(xí)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣的概念、特征以及適用范圍.

  2.實(shí)例:某校高一、高二和高三年級(jí)分別有學(xué)生名,為了了解全校學(xué)生的視力情況,從中抽取容量為的樣本,怎樣抽取較為合理?

  二、學(xué)生活動(dòng)

  能否用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣進(jìn)行抽樣,為什么?

  指出由于不同年級(jí)的學(xué)生視力狀況有一定的差異,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣進(jìn)行抽樣不能準(zhǔn)確反映客觀實(shí)際,在抽樣時(shí)不僅要使每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等,還要注意總體中個(gè)體的層次性.

  由于樣本的容量與總體的個(gè)體數(shù)的比為100∶2500=1∶25,

  所以在各年級(jí)抽取的個(gè)體數(shù)依次是,,,即40,32,28.

  三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

  1.分層抽樣:當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí),為了使樣本更客觀地反映總體的情況,常將總體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分,然后按各部分在總體中所占的比進(jìn)行抽樣,這種抽樣叫做分層抽樣,其中所分成的各部分叫“層”.

  說(shuō)明:①分層抽樣時(shí),由于各部分抽取的個(gè)體數(shù)與這一部分個(gè)體數(shù)的比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)的比,每一個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都是相等的;

 、谟捎诜謱映闃映浞掷昧宋覀兯莆盏男畔,使樣本具有較好的代表性,而且在各層抽樣時(shí)可以根據(jù)具體情況采取不同的抽樣方法,所以分層抽樣在實(shí)踐中有著非常廣泛的應(yīng)用.

  2.三種抽樣方法對(duì)照表:

  類別

  共同點(diǎn)

  各自特點(diǎn)

  相互聯(lián)系

  適用范圍

  簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

  抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率是相同的

  從總體中逐個(gè)抽取

  總體中的個(gè)體數(shù)較少

  系統(tǒng)抽樣

  將總體均分成幾個(gè)部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取

  在第一部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

  總體中的個(gè)體數(shù)較多

  分層抽樣

  將總體分成幾層,分層進(jìn)行抽取

  各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)

  總體由差異明顯的幾部分組成

  3.分層抽樣的步驟:

 。1)分層:將總體按某種特征分成若干部分.

 。2)確定比例:計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比.

 。3)確定各層應(yīng)抽取的樣本容量.

  (4)在每一層進(jìn)行抽樣(各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的.方法抽。,綜合每層抽樣,組成樣本.

  四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

  1.例題.

  例1(1)分層抽樣中,在每一層進(jìn)行抽樣可用_________________.

 。2)①教育局督學(xué)組到學(xué)校檢查工作,臨時(shí)在每個(gè)班各抽調(diào)2人參加座談;

 、谀嘲嗥谥锌荚囉15人在85分以上,40人在60-84分,1人不及格.現(xiàn)欲從中抽出8人研討進(jìn)一步改進(jìn)教和學(xué);

 、勰嘲嘣┚蹠(huì),要產(chǎn)生兩名“幸運(yùn)者”.

  對(duì)這三件事,合適的抽樣方法為()

  A.分層抽樣,分層抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

  B.系統(tǒng)抽樣,系統(tǒng)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

  C.分層抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

  D.系統(tǒng)抽樣,分層抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

  例2某電視臺(tái)在因特網(wǎng)上就觀眾對(duì)某一節(jié)目的喜愛(ài)程度進(jìn)行調(diào)查,參加調(diào)查的總?cè)藬?shù)為12000人,其中持各種態(tài)度的人數(shù)如表中所示:

  很喜愛(ài)

  喜愛(ài)

  一般

  不喜愛(ài)

  2435

  4567

  3926

  1072

  電視臺(tái)為進(jìn)一步了解觀眾的具體想法和意見(jiàn),打算從中抽取60人進(jìn)行更為詳細(xì)的調(diào)查,應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣?

  解:抽取人數(shù)與總的比是60∶12000=1∶200,

  則各層抽取的人數(shù)依次是12.175,22.835,19.63,5.36,

  取近似值得各層人數(shù)分別是12,23,20,5.

  然后在各層用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽。

  答用分層抽樣的方法抽取,抽取“很喜愛(ài)”、“喜愛(ài)”、“一般”、“不喜愛(ài)”的人

  數(shù)分別為12,23,20,5.

  說(shuō)明:各層的抽取數(shù)之和應(yīng)等于樣本容量,對(duì)于不能取整數(shù)的情況,取其近似值.

 。3)某學(xué)校有160名教職工,其中教師120名,行政人員16名,后勤人員24名.為了了解教職工對(duì)學(xué)校在校務(wù)公開(kāi)方面的某意見(jiàn),擬抽取一個(gè)容量為20的樣本.

  分析:(1)總體容量較小,用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法都很方便.

  (2)總體容量較大,用抽簽法或隨機(jī)數(shù)表法都比較麻煩,由于人員沒(méi)有明顯差異,且剛好32排,每排人數(shù)相同,可用系統(tǒng)抽樣.

 。3)由于學(xué)校各類人員對(duì)這一問(wèn)題的看法可能差異較大,所以應(yīng)采用分層抽樣方法.

  五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)

  本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:

  1.分層抽樣的概念與特征;

  2.三種抽樣方法相互之間的區(qū)別與聯(lián)系.

高中數(shù)學(xué)教案4

  教學(xué)目標(biāo)

  知識(shí)與技能目標(biāo):

  本節(jié)的中心任務(wù)是研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用,概念的形成分為三個(gè)層次:

  (1)通過(guò)復(fù)習(xí)舊知“求導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)步驟”以及“平均變化率與割線斜率的關(guān)系”,解決了平均變化率的幾何意義后,明確探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以依據(jù)導(dǎo)數(shù)概念的形成尋求解決問(wèn)題的途徑。

  (2)從圓中割線和切線的變化聯(lián)系,推廣到一般曲線中用割線逼近的方法直觀定義切線。

  (3)依據(jù)割線與切線的變化聯(lián)系,數(shù)形結(jié)合探究函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案在導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案的幾何意義,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案就是函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案的圖象在導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案處的切線的斜率。即:

  導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案=曲線在導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案處切線的斜率k

  在此基礎(chǔ)上,通過(guò)例題和練習(xí)使學(xué)生學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際生活問(wèn)題,加深對(duì)導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的理解。在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受逼近的思想方法,了解“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想方法。

  過(guò)程與方法目標(biāo):

  (1)學(xué)生通過(guò)觀察感知、動(dòng)手探究,培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手和感知發(fā)現(xiàn)的能力。

  (2)學(xué)生通過(guò)對(duì)圓的切線和割線聯(lián)系的認(rèn)識(shí),再類比探索一般曲線的情況,完善對(duì)切線的認(rèn)知,感受逼近的思想,體會(huì)相切是種局部性質(zhì)的本質(zhì),有助于數(shù)學(xué)思維能力的提高。

  (3)結(jié)合分層的探究問(wèn)題和分層練習(xí),期望各種層次的學(xué)生都可以憑借自己的能力盡力走在教師的前面,獨(dú)立解決問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)新知、應(yīng)用新知。

  情感、態(tài)度、價(jià)值觀:

  (1)通過(guò)在探究過(guò)程中滲透逼近和以直代曲思想,使學(xué)生了解近似與精確間的辨證關(guān)系;通過(guò)有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限,體驗(yàn)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的意義和價(jià)值;

  (2)在教學(xué)中向他們提供充分的從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì),如:探究活動(dòng),讓學(xué)生自主探究新知,例題則采用練在講之前,講在關(guān)鍵處。在活動(dòng)中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能,促進(jìn)他們真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思想方法,獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高綜合能力,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí),進(jìn)一步在意志力、自信心、理性精神等情感與態(tài)度方面得到良好的發(fā)展。

  教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

  重點(diǎn):理解和掌握切線的新定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題,體會(huì)數(shù)形結(jié)合、以直代曲的思想方法。

  難點(diǎn):發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

  教學(xué)過(guò)程

  一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

  1.導(dǎo)數(shù)的定義是什么?求導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟是什么?求函數(shù)y=x2在x=2處的導(dǎo)數(shù).

  定義:函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案就是函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。

  求導(dǎo)數(shù)的步驟:

  第一步:求平均變化率導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案;

  第二步:求瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案.

  (即導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,平均變化率趨近于的確定常數(shù)就是該點(diǎn)導(dǎo)數(shù))

  2.觀察函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案的圖象,平均變化率導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案在圖形中表示什么?

  生:平均變化率表示的是割線PQ的斜率.導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

  師:這就是平均變化率(導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案)的幾何意義,

  3.瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案)在圖中又表示什么呢?

  如圖2-1,設(shè)曲線C是函數(shù)y=f(x)的圖象,點(diǎn)P(x0,y0)是曲線C上一點(diǎn).點(diǎn)Q(x0+Δx,y0+Δy)是曲線C上與點(diǎn)P鄰近的任一點(diǎn),作割線PQ,當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線C無(wú)限地趨近于點(diǎn)P,割線PQ便無(wú)限地趨近于某一極限位置PT,我們就把極限位置上的直線PT,叫做曲線C在點(diǎn)P處的切線.

  導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

  追問(wèn):怎樣確定曲線C在點(diǎn)P的切線呢?因?yàn)镻是給定的,根據(jù)平面解析幾何中直線的點(diǎn)斜式方程的知識(shí),只要求出切線的斜率就夠了.設(shè)割線PQ的傾斜角為導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,切線PT的傾斜角為導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,易知割線PQ的斜率為導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案。既然割線PQ的極限位置上的直線PT是切線,所以割線PQ斜率的極限就是切線PT的斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,即導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案。

  由導(dǎo)數(shù)的定義知導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案。

  導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

  由上式可知:曲線f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線的斜率就是y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0).今天我們就來(lái)探究導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

  C類學(xué)生回答第1題,A,B類學(xué)生回答第2題在學(xué)生回答基礎(chǔ)上教師重點(diǎn)講評(píng)第3題,然后逐步引入導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

  二、新課

  1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義:

  函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0)的幾何意義,就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率.

  即:導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

  口答練習(xí):

  (1)如果函數(shù)y=f(x)在已知點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)分別為下列情況f'(x0)=1,f'(x0)=1,f'(x0)=-1,f'(x0)=2.試求函數(shù)圖像在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線的傾斜角,并說(shuō)明切線各有什么特征。

  (C層學(xué)生做)

  (2)已知函數(shù)y=f(x)的圖象(如圖2-2),分別為以下三種情況的直線,通過(guò)觀察確定函數(shù)在各點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).(A、B層學(xué)生做)

  導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

  2、如何用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減?

  小結(jié):附近:瞬時(shí),增減:變化率,即研究函數(shù)在該點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率,也就是導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的正負(fù)即對(duì)應(yīng)函數(shù)的`增減。作出該點(diǎn)處的切線,可由切線的升降趨勢(shì),得切線斜率的正負(fù)即導(dǎo)數(shù)的正負(fù),就可以判斷函數(shù)的增減性,體會(huì)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。

  同時(shí),結(jié)合以直代曲的思想,在某點(diǎn)附近的切線的變化情況與曲線的變化情況一樣,也可以判斷函數(shù)的增減性。都反應(yīng)了導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)增減、變化快慢的有效工具。

  例1函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案上有一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,并由此解釋函數(shù)的增減情況。

  導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

  函數(shù)在定義域上任意點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率都是3,函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。(此時(shí)任意點(diǎn)處的切線就是直線本身,斜率就是變化率)

  3、利用導(dǎo)數(shù)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程.

  例2求曲線y=x2在點(diǎn)M(2,4)處的切線方程.

  解:導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

  ∴y'|x=2=2×2=4.

  ∴點(diǎn)M(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

  由上例可歸納出求切線方程的兩個(gè)步驟:

  (1)先求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0).

  (2)根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式,得切線方程為y-y0=f'(x0)(x-x0).

  提問(wèn):若在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線PT的傾斜角為導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,求切線方程。(因?yàn)檫@時(shí)切線平行于y軸,而導(dǎo)數(shù)不存在,不能用上面方法求切線方程。根據(jù)切線定義可直接得切線方程導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案)

  (先由C類學(xué)生來(lái)回答,再由A,B補(bǔ)充.)

  例3已知曲線導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案上一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,求:(1)過(guò)P點(diǎn)的切線的斜率;

  (2)過(guò)P點(diǎn)的切線的方程。

  解:(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案,

  導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案

  y'|x=2=22=4. ∴在點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.

  (2)在點(diǎn)P處的切線方程為導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案即12x-3y-16=0.

  練習(xí):求拋物線y=x2+2在點(diǎn)M(2,6)處的切線方程.

  (答案:y'=2x,y'|x=2=4切線方程為4x-y-2=0).

  B類學(xué)生做題,A類學(xué)生糾錯(cuò)。

  三、小結(jié)

  1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義.(C組學(xué)生回答)

  2.利用導(dǎo)數(shù)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程的步驟.

  (B組學(xué)生回答)

  四、布置作業(yè)

  1.求拋物線導(dǎo)數(shù)的幾何意義教案在點(diǎn)(1,1)處的切線方程。

  2.求拋物線y=4x-x2在點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B(2,4)處的切線的斜率,切線的方程.

  3.求曲線y=2x-x3在點(diǎn)(-1,-1)處的切線的傾斜角

  4.已知拋物線y=x2-4及直線y=x+2,求:(1)直線與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo); (2)拋物線在交點(diǎn)處的切線方程;

  (C組學(xué)生完成1,2題;B組學(xué)生完成1,2,3題;A組學(xué)生完成2,3,4題)

  教學(xué)反思:

  本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了“變化率問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)的概念”等知識(shí)的基礎(chǔ)上,研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義,由于新教材未設(shè)計(jì)極限,于是我盡量采用形象直觀的方式,讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手作圖,自我感受整個(gè)逼近的過(guò)程,讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“以直代曲”的思想。

  本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”和“利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問(wèn)題”兩個(gè)教學(xué)重心展開(kāi)。先回憶導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義、數(shù)值意義,由數(shù)到形,自然引出從圖形的角度研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義;然后,類比“平均變化率——瞬時(shí)變化率”的研究思路,運(yùn)用逼近的思想定義了曲線上某點(diǎn)的切線,再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考,獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義——“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率”。

  完成本節(jié)課第一階段的內(nèi)容學(xué)習(xí)后,教師點(diǎn)明,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí),某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)此點(diǎn)的切線近似代替,即“以直代曲”,從而達(dá)到“以簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫(huà)復(fù)雜對(duì)象”的目的,并通過(guò)兩個(gè)例題的研究,讓學(xué)生從不同的角度完整地體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系,并感受導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性。本節(jié)課注重以學(xué)生為主體,每一個(gè)知識(shí)、每一個(gè)發(fā)現(xiàn),總設(shè)法由學(xué)生自己得出,課堂上給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和空間,讓學(xué)生在動(dòng)手操作、動(dòng)筆演算等活動(dòng)后,再組織討論,本教師只是在關(guān)鍵處加以引導(dǎo)。從學(xué)生的作業(yè)看來(lái),效果較好。

高中數(shù)學(xué)教案5

  整體設(shè)計(jì)

  教學(xué)分析

  我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過(guò)程中,已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)。從本節(jié)開(kāi)始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上,類比出正數(shù)的n次方根的定義,從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)。進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù),再推廣到實(shí)數(shù)指數(shù),并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪。

  教材為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景,先給出兩個(gè)具體例子:GDP的增長(zhǎng)問(wèn)題和碳14的衰減問(wèn)題。前一個(gè)問(wèn)題,既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)冪,也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型,并且還有思想教育價(jià)值。后一個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生體會(huì)其中的函數(shù)模型的同時(shí),激發(fā)學(xué)生探究分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的興趣與欲望,為新知識(shí)的學(xué)習(xí)作了鋪墊。

  本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法,如推廣的思想(指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪)、數(shù)形結(jié)合的思想(用指數(shù)函數(shù)的圖象研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì))等,同時(shí),充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。

  根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn),教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量,盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境,為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。

  三維目標(biāo)

  1、通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比,理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念,進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)。掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化,掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類比的能力。

  2、掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化,滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。通過(guò)運(yùn)算訓(xùn)練,養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué),一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣,讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自生活,數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理。

  3、能熟練地運(yùn)用有理指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S和科學(xué)正確的計(jì)算能力。

  4、通過(guò)訓(xùn)練及點(diǎn)評(píng),讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。展示函數(shù)圖象,讓學(xué)生通過(guò)觀察,進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美。

  重點(diǎn)難點(diǎn)

  教學(xué)重點(diǎn)

 。1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式概念的理解。

  (2)掌握并運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。

 。3)運(yùn)用有理指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值。

  教學(xué)難點(diǎn)

 。1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及根式概念的理解。

 。2)有理指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用。

  課時(shí)安排

  3課時(shí)

  教學(xué)過(guò)程

  第1課時(shí)

  作者:路致芳

  導(dǎo)入新課

  思路1.同學(xué)們?cè)陬A(yù)習(xí)的過(guò)程中能否知道考古學(xué)家如何判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化,又怎樣判斷它們所處的年代?(考古學(xué)家是通過(guò)對(duì)生物化石的研究來(lái)判斷生物的發(fā)展與進(jìn)化的,第二個(gè)問(wèn)題我們不太清楚)考古學(xué)家是按照這樣一條規(guī)律推測(cè)生物所處的年代的。教師板書(shū)本節(jié)課題:指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算。

  思路2.同學(xué)們,我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了平方根、立方根,那么有沒(méi)有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是肯定的,這就是我們本堂課研究的課題:指數(shù)函數(shù)——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算。

  推進(jìn)新課

  新知探究

  提出問(wèn)題

 。1)什么是平方根?什么是立方根?一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè),立方根呢?

  (2)如x4=a,x5=a,x6=a,根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢?

 。3)根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎?

 。4)可否用一個(gè)式子表達(dá)呢?

  活動(dòng):教師提示,引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)過(guò)的平方根、立方根是如何定義的,對(duì)照類比平方根、立方根的定義解釋上面的式子,對(duì)問(wèn)題(2)的結(jié)論進(jìn)行引申、推廣,相互交流討論后回答,教師及時(shí)啟發(fā)學(xué)生,具體問(wèn)題一般化,歸納類比出n次方根的概念,評(píng)價(jià)學(xué)生的思維。

  討論結(jié)果:(1)若x2=a,則x叫做a的平方根,正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù),如:4的平方根為±2,負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根,同理,若x3=a,則x叫做a的立方根,一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè),如:-8的立方根為-2.

 。2)類比平方根、立方根的定義,一個(gè)數(shù)的四次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的四次方根。一個(gè)數(shù)的五次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的五次方根。一個(gè)數(shù)的六次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的六次方根。

 。3)類比(2)得到一個(gè)數(shù)的n次方等于a,則這個(gè)數(shù)叫a的n次方根。

  (4)用一個(gè)式子表達(dá)是,若xn=a,則x叫a的n次方根。

  教師板書(shū)n次方根的意義:

  一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(n th root),其中n>1且n∈正整數(shù)集。

  可以看出數(shù)的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

  提出問(wèn)題

 。1)你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎?(多媒體顯示以下題目)。

 、4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根。

  (2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分別對(duì)應(yīng)的方根的指數(shù)是什么數(shù),有什么特點(diǎn)?4,±8,16,-32,32,0,a6分別對(duì)應(yīng)什么性質(zhì)的數(shù),有什么特點(diǎn)?

 。3)問(wèn)題(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,數(shù)a有正有負(fù),還有零,結(jié)論有一個(gè)的,也有兩個(gè)的,你能否總結(jié)一般規(guī)律呢?

 。4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根是否存在呢?

  活動(dòng):教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念,求一個(gè)數(shù)a的n次方根,就是求出的那個(gè)數(shù)的n次方等于a,及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生,從數(shù)的分類考慮,可以把具體的數(shù)寫(xiě)出來(lái),觀察數(shù)的特點(diǎn),對(duì)問(wèn)題(2)中的結(jié)論,類比推廣引申,考慮要全面,對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路。

  討論結(jié)果:(1)因?yàn)椤?的平方等于4,±2的立方等于±8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分別是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.

 。2)方根的指數(shù)是2,3,4,5,7…特點(diǎn)是有奇數(shù)和偶數(shù)。總的來(lái)看,這些數(shù)包括正數(shù),負(fù)數(shù)和零。

 。3)一個(gè)數(shù)a的奇次方根只有一個(gè),一個(gè)正數(shù)a的偶次方根有兩個(gè),是互為相反數(shù)。0的任何次方根都是0.

  (4)任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根不一定存在,如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在,因?yàn)闆](méi)有一個(gè)數(shù)的偶次方是一個(gè)負(fù)數(shù)。

  類比前面的平方根、立方根,結(jié)合剛才的討論,歸納出一般情形,得到n次方根的性質(zhì):

 、佼(dāng)n為偶數(shù)時(shí),正數(shù)a的n次方根有兩個(gè),是互為相反數(shù),正的n次方根用na表示,如果是負(fù)數(shù),負(fù)的n次方根用-na表示,正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫(xiě)成±na(a>0)。

 、趎為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),這時(shí)a的n次方根用符號(hào)na表示。

 、圬(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是零。

  上面的文字語(yǔ)言可用下面的式子表示:

  a為正數(shù):n為奇數(shù),a的n次方根有一個(gè)為na,n為偶數(shù),a的n次方根有兩個(gè)為±na.

  a為負(fù)數(shù):n為奇數(shù),a的n次方根只有一個(gè)為na,n為偶數(shù),a的n次方根不存在。

  零的n次方根為零,記為n0=0.

  可以看出數(shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例。

  思考

  根據(jù)n次方根的性質(zhì)能否舉例說(shuō)明上述幾種情況?

  活動(dòng):教師提示學(xué)生對(duì)方根的性質(zhì)要分類掌握,即正數(shù)的奇偶次方根,負(fù)數(shù)的奇次方根,零的任何次方根,這樣才不重不漏,同時(shí)巡視學(xué)生,隨機(jī)給出一個(gè)數(shù),我們寫(xiě)出它的平方根,立方根,四次方根等,看是否有意義,注意觀察方根的形式,及時(shí)糾正學(xué)生在舉例過(guò)程中的問(wèn)題。

  解:答案不,比如,64的立方根是4,16的四次方根為±2,-27的5次方根為5-27,而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根,它類似于na的形式,現(xiàn)在我們給式子na一個(gè)名稱——根式。

  根式的概念:

  式子na叫做根式,其中a叫做被開(kāi)方數(shù),n叫做根指數(shù)。

  如3-27中,3叫根指數(shù),-27叫被開(kāi)方數(shù)。

  思考

  nan表示an的n次方根,式子nan=a一定成立嗎?如果不一定成立,那么nan等于什么?

  活動(dòng):教師讓學(xué)生注意討論n為奇偶數(shù)和a的符號(hào),充分讓學(xué)生多舉實(shí)例,分組討論。教師點(diǎn)撥,注意歸納整理。

  〔如3(-3)3=3-27=-3,4(-8)4=|-8|=8〕。

  解答:根據(jù)n次方根的意義,可得:(na)n=a.

  通過(guò)探究得到:n為奇數(shù),nan=a.

  n為偶數(shù),nan=|a|=a,-a,a≥0,a<0.

  因此我們得到n次方根的`運(yùn)算性質(zhì):

 、(na)n=a.先開(kāi)方,再乘方(同次),結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)。

 、趎為奇數(shù),nan=a.先奇次乘方,再開(kāi)方(同次),結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)。

  n為偶數(shù),nan=|a|=a,-a,a≥0,a<0.先偶次乘方,再開(kāi)方(同次),結(jié)果為被開(kāi)方數(shù)的絕對(duì)值。

  應(yīng)用示例

  思路1

  例求下列各式的值:

 。1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(a>b)。

  活動(dòng):求某些式子的值,首先考慮的應(yīng)是什么,明確題目的要求是什么,都用到哪些知識(shí),關(guān)鍵是啥,搞清這些之后,再針對(duì)每一個(gè)題目仔細(xì)分析。觀察學(xué)生的解題情況,讓學(xué)生展示結(jié)果,抓住學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題并對(duì)癥下藥。求下列各式的值實(shí)際上是求數(shù)的方根,可按方根的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解,首先要搞清楚運(yùn)算順序,目的是把被開(kāi)方數(shù)的符號(hào)定準(zhǔn),然后看根指數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù),如果是奇數(shù),無(wú)需考慮符號(hào),如果是偶數(shù),開(kāi)方的結(jié)果必須是非負(fù)數(shù)。

  解:(1)3(-8)3=-8;

  (2)(-10)2=10;

 。3)4(3-π)4=π-3;

  (4)(a-b)2=a-b(a>b)。

  點(diǎn)評(píng):不注意n的奇偶性對(duì)式子nan的值的影響,是導(dǎo)致問(wèn)題出現(xiàn)的一個(gè)重要原因,要在理解的基礎(chǔ)上,記準(zhǔn),記熟,會(huì)用,活用。

  變式訓(xùn)練

  求出下列各式的值:

  (1)7(-2)7;

  (2)3(3a-3)3(a≤1);

  (3)4(3a-3)4.

  解:(1)7(-2)7=-2,

  (2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3,

  (3)4(3a-3)4=

  點(diǎn)評(píng):本題易錯(cuò)的是第(3)題,往往忽視a與1大小的討論,造成錯(cuò)解。

  思路2

  例1下列各式中正確的是()

  A.4a4=a

  B.6(-2)2=3-2

  C.a0=1

  D.10(2-1)5=2-1

  活動(dòng):教師提示,這是一道選擇題,本題考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì),應(yīng)首先考慮根據(jù)方根的意義和運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解,既要考慮被開(kāi)方數(shù),又要考慮根指數(shù),嚴(yán)格按求方根的步驟,體會(huì)方根運(yùn)算的實(shí)質(zhì),學(xué)生先思考哪些地方容易出錯(cuò),再回答。

  解析:(1)4a4=a,考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì),當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),應(yīng)先寫(xiě)nan=|a|,故A項(xiàng)錯(cuò)。

  (2)6(-2)2=3-2,本質(zhì)上與上題相同,是一個(gè)正數(shù)的偶次方根,根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此,結(jié)論為6(-2)2=32,故B項(xiàng)錯(cuò)。

  (3)a0=1是有條件的,即a≠0,故C項(xiàng)也錯(cuò)。

  (4)D項(xiàng)是一個(gè)正數(shù)的偶次方根,根據(jù)運(yùn)算順序也應(yīng)如此,故D項(xiàng)正確。所以答案選D.

  答案:D

  點(diǎn)評(píng):本題由于考查n次方根的運(yùn)算性質(zhì)與運(yùn)算順序,有時(shí)極易選錯(cuò),選四個(gè)答案的情況都會(huì)有,因此解題時(shí)千萬(wàn)要細(xì)心。

  例2 3+22+3-22=__________.

  活動(dòng):讓同學(xué)們積極思考,交流討論,本題乍一看內(nèi)容與本節(jié)無(wú)關(guān),但仔細(xì)一想,我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容是方根,這里是帶有雙重根號(hào)的式子,去掉一層根號(hào),根據(jù)方根的運(yùn)算求出結(jié)果是解題的關(guān)鍵,因此將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式就更為關(guān)鍵了,從何處入手?需利用和的平方公式與差的平方公式化為完全平方式。正確分析題意是關(guān)鍵,教師提示,引導(dǎo)學(xué)生解題的思路。

  解析:因?yàn)?+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1,

  3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1,

  所以3+22+3-22=22.

  答案:22

  點(diǎn)評(píng):不難看出3-22與3+22形式上有些特點(diǎn),即是對(duì)稱根式,是A±2B形式的式子,我們總能找到辦法把其化成一個(gè)完全平方式。

  思考

  上面的例2還有別的解法嗎?

  活動(dòng):教師引導(dǎo),去根號(hào)常常利用完全平方公式,有時(shí)平方差公式也可,同學(xué)們觀察兩個(gè)式子的特點(diǎn),具有對(duì)稱性,再考慮并交流討論,一個(gè)是“+”,一個(gè)是“-”,去掉一層根號(hào)后,相加正好抵消。同時(shí)借助平方差,又可去掉根號(hào),因此把兩個(gè)式子的和看成一個(gè)整體,兩邊平方即可,探討得另一種解法。

  另解:利用整體思想,x=3+22+3-22,

  兩邊平方,得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8,所以x=22.

  點(diǎn)評(píng):對(duì)雙重二次根式,特別是A±2B形式的式子,我們總能找到辦法將根號(hào)下面的式子化成一個(gè)完全平方式,問(wèn)題迎刃而解,另外對(duì)A+2B±A-2B的式子,我們可以把它們看成一個(gè)整體利用完全平方公式和平方差公式去解。

  變式訓(xùn)練

  若a2-2a+1=a-1,求a的取值范圍。

  解:因?yàn)閍2-2a+1=a-1,而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1,

  即a-1≥0,

  所以a≥1.

  點(diǎn)評(píng):利用方根的運(yùn)算性質(zhì)轉(zhuǎn)化為去絕對(duì)值符號(hào),是解題的關(guān)鍵。

  知能訓(xùn)練

 。ń處熡枚嗝襟w顯示在屏幕上)

  1、以下說(shuō)法正確的是()

  A.正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)

  B.負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)

  C.0的n次方根是零

  D.a的n次方根用na表示(以上n>1且n∈正整數(shù)集)

  答案:C

  2、化簡(jiǎn)下列各式:

  (1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

  答案:(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

  3、計(jì)算7+40+7-40=__________.

  解析:7+40+7-40

  =(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

  =(5+2)2+(5-2)2

  =5+2+5-2

  =25.

  答案:25

  拓展提升

  問(wèn)題:nan=a與(na)n=a(n>1,n∈N)哪一個(gè)是恒等式,為什么?請(qǐng)舉例說(shuō)明。

  活動(dòng):組織學(xué)生結(jié)合前面的例題及其解答,進(jìn)行分析討論,解決這一問(wèn)題要緊扣n次方根的定義。

  通過(guò)歸納,得出問(wèn)題結(jié)果,對(duì)a是正數(shù)和零,n為偶數(shù)時(shí),n為奇數(shù)時(shí)討論一下。再對(duì)a是負(fù)數(shù),n為偶數(shù)時(shí),n為奇數(shù)時(shí)討論一下,就可得到相應(yīng)的結(jié)論。

  解:(1)(na)n=a(n>1,n∈N)。

  如果xn=a(n>1,且n∈N)有意義,則無(wú)論n是奇數(shù)或偶數(shù),x=na一定是它的一個(gè)n次方根,所以(na)n=a恒成立。

  例如:(43)4=3,(3-5)3=-5.

  (2)nan=a,|a|,當(dāng)n為奇數(shù),當(dāng)n為偶數(shù)。

  當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a∈R,nan=a恒成立。

  例如:525=2,5(-2)5=-2.

  當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a∈R,an≥0,nan表示正的n次方根或0,所以如果a≥0,那么nan=a.例如434=3,40=0;如果a<0,那么nan=|a|=-a,如(-3)2=32=3,

  即(na)n=a(n>1,n∈N)是恒等式,nan=a(n>1,n∈N)是有條件的。

  點(diǎn)評(píng):實(shí)質(zhì)上是對(duì)n次方根的概念、性質(zhì)以及運(yùn)算性質(zhì)的深刻理解。

  課堂小結(jié)

  學(xué)生仔細(xì)交流討論后,在筆記上寫(xiě)出本節(jié)課的學(xué)習(xí)收獲,教師用多媒體顯示在屏幕上。

  1、如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n>1且n∈正整數(shù)集。用式子na表示,式子na叫根式,其中a叫被開(kāi)方數(shù),n叫根指數(shù)。

 。1)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),a的n次方根有兩個(gè),是互為相反數(shù),正的n次方根用na表示,如果是負(fù)數(shù),負(fù)的n次方根用-na表示,正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫(xiě)成±na(a>0)。

  (2)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),這時(shí)a的n次方根用符號(hào)na表示。

 。3)負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根。0的任何次方根都是零。

  2、掌握兩個(gè)公式:n為奇數(shù)時(shí),(na)n=a,n為偶數(shù)時(shí),nan=|a|=a,-a,a≥0,a<0.

  作業(yè)

  課本習(xí)題2.1A組1.

  補(bǔ)充作業(yè):

  1、化簡(jiǎn)下列各式:

  (1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

  解:(1)681=634=332=39;

  (2)15-32=-1525=-32;

  (3)6a2b4=6(|a|?b2)2=3|a|?b2.

  2、若5

  解析:因?yàn)?

  答案:2a-13

  3.5+26+5-26=__________.

  解析:對(duì)雙重二次根式,我們覺(jué)得難以下筆,我們考慮只有在開(kāi)方的前提下才可能解出,由此提示我們想辦法去掉一層根式,

  不難看出5+26=(3+2)2=3+2.

  同理5-26=(3-2)2=3-2.

  所以5+26+5-26=23.

  答案:23

  設(shè)計(jì)感想

  學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的平方根和立方根,根式的內(nèi)容是這些內(nèi)容的推廣,本節(jié)課由于方根和根式的概念和性質(zhì)難以理解,在引入根式的概念時(shí),要結(jié)合已學(xué)內(nèi)容,列舉具體實(shí)例,根式na的講解要分n是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況來(lái)進(jìn)行,每種情況又分a>0,a<0,a=0三種情況,并結(jié)合具體例子講解,因此設(shè)計(jì)了大量的類比和練習(xí)題目,要靈活處理這些題目,幫助學(xué)生加以理解,所以需要用多媒體信息技術(shù)服務(wù)教學(xué)。

  第2課時(shí)

  作者:郝云靜

  導(dǎo)入新課

  思路1.碳14測(cè)年法。原來(lái)宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14,并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織,先為植物吸收,再為動(dòng)物吸收,只要植物和動(dòng)物生存著,它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平。而當(dāng)有機(jī)體死亡后,即會(huì)停止吸收碳14,其組織內(nèi)的碳14便以約5 730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失。對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量,便可推斷其年代(半衰期:經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間,變?yōu)樵瓉?lái)的一半)。引出本節(jié)課題:指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。

  思路2.同學(xué)們,我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì),那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢?答案是肯定的。這就是本節(jié)的主講內(nèi)容,教師板書(shū)本節(jié)課題——指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。

  推進(jìn)新課

  新知探究

  提出問(wèn)題

 。1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么?

  (2)觀察以下式子,并總結(jié)出規(guī)律:a>0,

  ①;

  ②a8=(a4)2=a4=,;

  ③4a12=4(a3)4=a3=;

 、2a10=2(a5)2=a5= 。

  (3)利用(2)的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?

  ,,,(x>0,m,n∈正整數(shù)集,且n>1)。

 。4)你能用方根的意義來(lái)解釋(3)的式子嗎?

 。5)你能推廣到一般的情形嗎?

  活動(dòng):學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì),仔細(xì)觀察,特別是每題的開(kāi)始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系,教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義,用方根的意義加以解釋,指點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類比(2)的規(guī)律表示,借鑒(2)(3),我們把具體推廣到一般,對(duì)寫(xiě)正確的同學(xué)及時(shí)表?yè)P(yáng),其他學(xué)生鼓勵(lì)提示。

  討論結(jié)果:(1)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):an=a?a?a?…?a,a0=1(a≠0);00無(wú)意義;

  a-n=1an(a≠0);am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

 。2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根。實(shí)質(zhì)上①5a10=,②a8=,③4a12=,④2a10=結(jié)果的a的指數(shù)是2,4,3,5分別寫(xiě)成了105,82,124,105,形式上變了,本質(zhì)沒(méi)變。

  根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié):當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí),根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式)。

 。3)利用(2)的規(guī)律,453=,375=,5a7=,nxm= 。

  (4)53的四次方根是,75的三次方根是,a7的五次方根是,xm的n次方根是。

  結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的。

 。5)如果a>0,那么am的n次方根可表示為nam=,即=nam(a>0,m,n∈正整數(shù)集,n>1)。

  綜上所述,我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,教師板書(shū):

  規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0,m,n∈正整數(shù)集,n>1)。

  提出問(wèn)題

 。1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的?

  (2)你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎?

 。3)你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?

 。4)綜合上述,如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?

 。5)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中,為什么規(guī)定a>0,去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果?

 。6)既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢?

  活動(dòng):學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形,結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答,根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來(lái)類比,把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來(lái),與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),教師在黑板上板書(shū),學(xué)生合作交流,以具體的實(shí)例說(shuō)明a>0的必要性,教師及時(shí)作出評(píng)價(jià)。

  討論結(jié)果:(1)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是:a-n=1an(a≠0),n∈N+。

 。2)既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的,類比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義。

  規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0,m,n∈=N+,n>1)。

 。3)規(guī)定:零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是:零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。

 。4)教師板書(shū)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義。分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是:

  正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0,m,n∈正整數(shù)集,n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0,m,n∈正整數(shù)集,n>1),零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。

  (5)若沒(méi)有a>0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢?

  如=3-1=-1,=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果,這只說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的。因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí),切記要使底數(shù)大于零,如無(wú)a>0的條件,比如式子3a2=,同時(shí)負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方是有意義的,負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方時(shí),應(yīng)把負(fù)號(hào)移到根式的外邊,然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,也就是說(shuō),負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù),而不是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上。

 。6)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。

  有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì):

 、賏r?as=ar+s(a>0,r,s∈Q),

 、(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),

 、(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)。

  我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題,來(lái)看下面的例題。

  應(yīng)用示例

  例1求值:(1);(2);(3)12-5;(4) 。

  活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法,利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式,根據(jù)題目要求,把底數(shù)寫(xiě)成冪的形式,8寫(xiě)成23,25寫(xiě)成52,12寫(xiě)成2-1,1681寫(xiě)成234,利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答,完成后,把自己的答案用投影儀展示出來(lái)。

  解:(1) =22=4;

 。2)=5-1=15;

  (3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

 。4)=23-3=278.

  點(diǎn)評(píng):本例主要考查冪值運(yùn)算,要按規(guī)定來(lái)解。在進(jìn)行冪值運(yùn)算時(shí),要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算,而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算,如=382=364=4.

  例2用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式。

  a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

  活動(dòng):學(xué)生觀察、思考,根據(jù)解題的順序,把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算,根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí),要由里往外依次進(jìn)行,把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序,學(xué)生討論交流自己的解題步驟,教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況,鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié)。

  解:a3?a=a3? =;

  a2?3a2=a2? =;

  a3a= 。

  點(diǎn)評(píng):利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行根式運(yùn)算時(shí),其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算。對(duì)于計(jì)算的結(jié)果,不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示,沒(méi)有特別要求,就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來(lái)表示,但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式,也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)。

  例3計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))。

 。1);

 。2)。

  活動(dòng):先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征,然后分析,四則運(yùn)算的順序是先算乘方,再算乘除,最后算加減,有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的,整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后,其運(yùn)算順序仍符合我們以前的四則運(yùn)算順序,再解答,把自己的答案用投影儀展示出來(lái),相互交流,其中要注意到(1)小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算,可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行,要注意符號(hào),第(2)小題是乘方運(yùn)算,可先按積的乘方計(jì)算,再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算,熟悉后可以簡(jiǎn)化步驟。

  解:(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

 。2)=m2n-3=m2n3.

  點(diǎn)評(píng):分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積,而是根式的另一種寫(xiě)法。有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,就可把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了。

  本例主要是指數(shù)冪的運(yùn)算法則的綜合考查和應(yīng)用。

  變式訓(xùn)練

  求值:(1)33?33?63;

  (2)627m3125n64.

  解:(1)33?33?63= =32=9;

  (2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

  例4計(jì)算下列各式:

 。1)(325-125)÷425;

  (2)a2a?3a2(a>0)。

  活動(dòng):先由學(xué)生觀察以上兩個(gè)式子的特征,然后分析,化為同底。利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪計(jì)算,在第(1)小題中,只含有根式,且不是同次根式,比較難計(jì)算,但把根式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪再計(jì)算,這樣就簡(jiǎn)便多了,第(2)小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后再由運(yùn)算法則計(jì)算,最后寫(xiě)出解答。

  解:(1)原式=

  = =65-5;

  (2)a2a?3a2= =6a5.

  知能訓(xùn)練

  課本本節(jié)練習(xí)1,2,3

  【補(bǔ)充練習(xí)】

  教師用實(shí)物投影儀把題目投射到屏幕上讓學(xué)生解答,教師巡視,啟發(fā),對(duì)做得好的同學(xué)給予表?yè)P(yáng)鼓勵(lì)。

  1、(1)下列運(yùn)算中,正確的是()

  A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

  C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

  (2)下列各式①4(-4)2n,②4(-4)2n+1,③5a4,④4a5(各式的n∈N,a∈R)中,有意義的是()

  A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

  (3)(34a6)2?(43a6)2等于()

  A.a B.a2 C.a3 D.a4

 。4)把根式-25(a-b)-2改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為()

  A. B.

  C. D.

 。5)化簡(jiǎn)的結(jié)果是()

  A.6a B.-a C.-9a D.9a

  2、計(jì)算:(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

 。2)設(shè)5x=4,5y=2,則52x-y=__________.

  3、已知x+y=12,xy=9且x

  答案:1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)8

  3、解:。

  因?yàn)閤+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.

  又因?yàn)閤

  所以原式= =12-6-63=-33.

  拓展提升

  1、化簡(jiǎn):。

  活動(dòng):學(xué)生觀察式子特點(diǎn),考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路,應(yīng)對(duì)原式進(jìn)行因式分解,根據(jù)本題的特點(diǎn),注意到:

  x-1= -13=;

  x+1= +13=;

  。

  構(gòu)建解題思路教師適時(shí)啟發(fā)提示。

  解:

  =

  =

  =

  = 。

  點(diǎn)撥:解這類題目,要注意運(yùn)用以下公式,

  =a-b,

  =a± +b,

  =a±b.

  2、已知,探究下列各式的值的求法。

  (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。

  解:(1)將,兩邊平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;

 。2)將a+a-1=7兩邊平方,得a2+a-2+2=49,即a2+ a-2=47;

 。3)由于,

  所以有=a+a-1+1=8.

  點(diǎn)撥:對(duì)“條件求值”問(wèn)題,一定要弄清已知與未知的聯(lián)系,然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值。

  課堂小結(jié)

  活動(dòng):教師,本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲?請(qǐng)把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上,同學(xué)們之間相互交流。同時(shí)教師用投影儀顯示本堂課的知識(shí)要點(diǎn):

 。1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是=nam(a>0,m,n∈正整數(shù)集,n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是= =1nam(a>0,m,n∈正整數(shù)集,n>1),零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。

 。2)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。

  (3)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):對(duì)任意的有理數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì):

 、賏r?as=ar+s(a>0,r,s∈Q),

 、(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),

 、(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)。

 。4)說(shuō)明兩點(diǎn):

 、俜?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定,我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性,其中沒(méi)有推出關(guān)系。

 、谡麛(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用。因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化,也可以利用=am來(lái)計(jì)算。

  作業(yè)

  課本習(xí)題2.1A組2,4.

  設(shè)計(jì)感想

  本節(jié)課是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用,分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充,要讓學(xué)生反復(fù)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,教學(xué)中可以通過(guò)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化來(lái)鞏固加深對(duì)這一概念的理解,用觀察、歸納和類比的方法完成,由于是硬性的規(guī)定,沒(méi)有合理的解釋,因此多安排一些練習(xí),強(qiáng)化訓(xùn)練,鞏固知識(shí),要輔助以信息技術(shù)的手段來(lái)完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)。

  第3課時(shí)

  作者:鄭芳鳴

  導(dǎo)入新課

  思路1.同學(xué)們,既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù),又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù),這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù),那么它是否也和數(shù)的推廣一樣,到底有沒(méi)有無(wú)理數(shù)指數(shù)冪呢?回顧數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程,自然數(shù)到整數(shù),整數(shù)到分?jǐn)?shù)(有理數(shù)),有理數(shù)到實(shí)數(shù)。并且知道,在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中,增添的數(shù)是無(wú)理數(shù)。對(duì)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪,也是這樣擴(kuò)充而來(lái)。既然如此,我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是:教師板書(shū)本堂課的課題〔指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)〕之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。

  思路2.同學(xué)們,在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識(shí),對(duì)函數(shù)有了一個(gè)初步的了解,到了高中,我們又對(duì)函數(shù)的概念進(jìn)行了進(jìn)一步的學(xué)習(xí),有了更深的理解,我們僅僅學(xué)了幾種簡(jiǎn)單的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等,這些遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足我們的需要,隨著科學(xué)的發(fā)展,社會(huì)的進(jìn)步,我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù),其中就有指數(shù)函數(shù),為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識(shí),我們必須學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),為此,我們必須把指數(shù)冪從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪,因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí):指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算(3)之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪,教師板書(shū)本節(jié)課的課題。

  推進(jìn)新課

  新知探究

  提出問(wèn)題

 。1)我們知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值?而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值?

 。2)多媒體顯示以下圖表:同學(xué)們從上面的兩個(gè)表中,能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律?

  2的過(guò)剩近似值

  的近似值

  1.5 11.180 339 89

  1.42 9.829 635 328

  1.415 9.750 851 808

  1.414 3 9.739 872 62

  1.414 22 9.738 618 643

  1.414 214 9.738 524 602

  1.414 213 6 9.738 518 332

  1.414 213 57 9.738 517 862

  1.414 213 563 9.738 517 752

  … …

  的近似值

  2的不足近似值

  9.518 269 694 1.4

  9.672 669 973 1.41

  9.735 171 039 1.414

  9.738 305 174 1.414 2

  9.738 461 907 1.414 21

  9.738 508 928 1.414 213

  9.738 516 765 1.414 213 5

  9.738 517 705 1.414 213 56

  9.738 517 736 1.414 213 562

  … …

 。3)你能給上述思想起個(gè)名字嗎?

 。4)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢?如,根據(jù)你學(xué)過(guò)的知識(shí),能作出判斷并合理地解釋嗎?

  (5)借助上面的結(jié)論你能說(shuō)出一般性的結(jié)論嗎?

  活動(dòng):教師引導(dǎo),學(xué)生回憶,教師提問(wèn),學(xué)生回答,積極交流,及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生,學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋,可用多媒體顯示輔助內(nèi)容:

  問(wèn)題(1)從近似值的分類來(lái)考慮,一方面從大于2的方向,另一方面從小于2的方向。

  問(wèn)題(2)對(duì)圖表的觀察一方面從上往下看,再一方面從左向右看,注意其關(guān)聯(lián)。

  問(wèn)題(3)上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近,最后是逼近。

  問(wèn)題(4)對(duì)問(wèn)題給予大膽猜測(cè),從數(shù)軸的觀點(diǎn)加以解釋。

  問(wèn)題(5)在(3)(4)的基礎(chǔ)上,推廣到一般的情形,即由特殊到一般。

  討論結(jié)果:(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…這些數(shù)都小于2,稱2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,這些數(shù)都大于2,稱2的過(guò)剩近似值。

 。2)第一個(gè)表:從大于2的方向逼近2時(shí),就從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22,…,即大于的方向逼近。

  第二個(gè)表:從小于2的方向逼近2時(shí),就從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于的方向逼近。

  從另一角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題,在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn),數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于的方向接近,而另一方面從51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22,…,即大于的方向接近,可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限地接近,即逼近,所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22,…,按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果,事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向向表示的點(diǎn)靠近,但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上,由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個(gè)實(shí)數(shù),即51.4<51.41<51.414<51.414 2<51.414 21<…< <…<51.414 22<51.414 3<51.415<51.42<51.5.

  充分表明是一個(gè)實(shí)數(shù)。

 。3)逼近思想,事實(shí)上里面含有極限的思想,這是以后要學(xué)的知識(shí)。

 。4)根據(jù)(2)(3)我們可以推斷是一個(gè)實(shí)數(shù),猜測(cè)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù)。

 。5)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義:

  一般地,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。

  也就是說(shuō)無(wú)理數(shù)可以作為指數(shù),并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù),這樣指數(shù)概念又一次得到推廣,在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中,我們知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。我們規(guī)定了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義,知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪,那么,指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪。

  提出問(wèn)題

 。1)為什么在規(guī)定無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí),必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)?

  (2)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的?是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢?

 。3)你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎?

  活動(dòng):教師組織學(xué)生互助合作,交流探討,引導(dǎo)他們用反例說(shuō)明問(wèn)題,注意類比,歸納。

  對(duì)問(wèn)題(1)回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定,舉例說(shuō)明。

  對(duì)問(wèn)題(2)結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則,既然無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),那么無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類似,并且相通。

  對(duì)問(wèn)題(3)有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則,實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則自然就得到了。

  討論結(jié)果:(1)底數(shù)大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1還是-1就無(wú)法確定了,這樣就造成混亂,規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后,無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),就不會(huì)再造成混亂。

 。2)因?yàn)闊o(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù),所以能進(jìn)行指數(shù)的運(yùn)算,也能進(jìn)行冪的運(yùn)算,有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),同樣也適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。類比有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以得到無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則:

  ①ar?as=ar+s(a>0,r,s都是無(wú)理數(shù))。

  ②(ar)s=ars(a>0,r,s都是無(wú)理數(shù))。

 、郏╝?b)r=arbr(a>0,b>0,r是無(wú)理數(shù))。

 。3)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后,指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也就推廣到了實(shí)數(shù)指數(shù)冪。

  實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):

  對(duì)任意的實(shí)數(shù)r,s,均有下面的運(yùn)算性質(zhì):

 、賏r?as=ar+s(a>0,r,s∈R)。

 、(ar)s=ars(a>0,r,s∈R)。

  ③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R)。

  應(yīng)用示例

  例1利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算。(精確到0.001)

  (1)0.32.1;(2)3.14-3;(3);(4) 。

  活動(dòng):教師教會(huì)學(xué)生利用函數(shù)計(jì)算器計(jì)算,熟悉計(jì)算器的各鍵的功能,正確輸入各類數(shù),算出數(shù)值,對(duì)于(1),可先按底數(shù)0.3,再按xy鍵,再按冪指數(shù)2.1,最后按=,即可求得它的值;

  對(duì)于(2),先按底數(shù)3.14,再按xy鍵,再按負(fù)號(hào)-鍵,再按3,最后按=即可;

  對(duì)于(3),先按底數(shù)3.1,再按xy鍵,再按3÷4,最后按=即可;

  對(duì)于(4),這種無(wú)理指數(shù)冪,可先按底數(shù)3,其次按xy鍵,再按鍵,再按3,最后按=鍵。有時(shí)也可按2ndf或shift鍵,使用鍵上面的功能去運(yùn)算。

  學(xué)生可以相互交流,挖掘計(jì)算器的用途。

  解:(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.

  點(diǎn)評(píng):熟練掌握用計(jì)算器計(jì)算冪的值的方法與步驟,感受現(xiàn)代技術(shù)的威力,逐步把自己融入現(xiàn)代信息社會(huì);用四舍五入法求近似值,若保留小數(shù)點(diǎn)后n位,只需看第(n+1)位能否進(jìn)位即可。

  例2求值或化簡(jiǎn)。

  (1)a-4b23ab2(a>0,b>0);

 。2)(a>0,b>0);

  (3)5-26+7-43-6-42.

  活動(dòng):學(xué)生觀察,思考,所謂化簡(jiǎn),即若能化為常數(shù)則化為常數(shù),若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達(dá)到最簡(jiǎn),對(duì)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式的式子,應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,便于運(yùn)算,教師有針對(duì)性地提示引導(dǎo),對(duì)(1)由里向外把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,要緊扣分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算性質(zhì),對(duì)(2)既有分?jǐn)?shù)指數(shù)冪又有根式,應(yīng)當(dāng)統(tǒng)一起來(lái),化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,對(duì)(3)有多重根號(hào)的式子,應(yīng)先去根號(hào),這里是二次根式,被開(kāi)方數(shù)應(yīng)湊完全平方,這樣,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并對(duì)學(xué)生作及時(shí)的評(píng)價(jià),注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律。

  解:(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。

  點(diǎn)評(píng):根式的運(yùn)算常;蓛绲倪\(yùn)算進(jìn)行,計(jì)算結(jié)果如沒(méi)有特殊要求,就用根式的形式來(lái)表示。

高中數(shù)學(xué)教案6

  1. 你能遵守學(xué)校的規(guī)章制度,按時(shí)上學(xué),按時(shí)完成作業(yè),書(shū)寫(xiě)比較端正,課堂上你也坐得比較端正。如果在學(xué)習(xí)上能夠更加主動(dòng)一些,尋找適合自己的學(xué)習(xí)

  2. 你尊敬老師、團(tuán)結(jié)同學(xué)、熱愛(ài)勞動(dòng)、關(guān)心集體,所以大家都喜歡你。能?chē)?yán)格遵守學(xué)校的各項(xiàng)規(guī)章制度。學(xué)習(xí)不夠刻苦,有畏難情緒。學(xué)習(xí)方法有待改進(jìn),掌握知識(shí)不夠牢固,思維能力要進(jìn)一步培養(yǎng)和提高。學(xué)習(xí)成績(jī)比上學(xué)期有一定的進(jìn)步。平時(shí)能積極參加體育鍛煉和有益的文娛活動(dòng)。今后如果能注意分配好學(xué)習(xí)時(shí)間,各科全面發(fā)展,均衡提高,相信一定會(huì)成為一名更加出色的學(xué)生。

  3. 你性格活潑開(kāi)朗,總是帶著甜甜的笑容,你能與同學(xué)友愛(ài)相處,待人有禮,能虛心接受老師的教導(dǎo)。大多數(shù)的時(shí)候你都能遵守紀(jì)律,偶爾會(huì)犯一些小錯(cuò)誤。有時(shí)上課不夠留心,還有些小動(dòng)作,你能想辦法控制自己?jiǎn)?一開(kāi)學(xué)老師就發(fā)現(xiàn)你的.作業(yè)干凈又整齊,你的字清秀又漂亮。但學(xué)習(xí)成績(jī)不容樂(lè)觀,需努力提高學(xué)習(xí)成績(jī)。希望能從根本上認(rèn)識(shí)到自己的不足,在課堂上能認(rèn)真聽(tīng)講,開(kāi)動(dòng)腦筋,遇到問(wèn)題敢于請(qǐng)教。

  4. 你熱情大方,為人豪爽,身上透露出女生少有的霸氣,作為班干部,你會(huì)提醒同學(xué)們及時(shí)安靜,對(duì)學(xué)習(xí)態(tài)度端正,及時(shí)完成作業(yè),但是少了點(diǎn)耐心,試著把心沉下來(lái),上課集中注意力,跟著老師的思路走,一步一個(gè)腳印,一定能走出你自己絢麗的人生!

  5. 學(xué)習(xí)態(tài)度端正,效率高,合理分配時(shí)間,學(xué)習(xí)生活兩不誤,善良熱情,熱愛(ài)生活,樂(lè)于助人,與周?chē)瑢W(xué)相處關(guān)系融洽。能?chē)?yán)格遵守學(xué)校的各項(xiàng)規(guī)章制度。上課能專心聽(tīng)講,認(rèn)真做好筆記,課后能按時(shí)完成作業(yè)。記憶力好,自學(xué)能力較強(qiáng)。希望你能更主動(dòng)地學(xué)習(xí),多思,多問(wèn),多練,大膽向老師和同學(xué)請(qǐng)教,注意采用科學(xué)的學(xué)習(xí)方法,提高學(xué)習(xí)效率,一定能取得滿意的成績(jī)!

  6. 作為本班的班長(zhǎng),你對(duì)待班級(jí)工作能夠認(rèn)真負(fù)責(zé),積極配合老師和班委工作,集體榮譽(yù)感很強(qiáng),人際關(guān)系很好,待人真誠(chéng),熱心幫助人,老師十分欣賞你的善良和聰明,希望在以后能夠積極發(fā)揮自己的所長(zhǎng),帶領(lǐng)全班不僅在班級(jí)管理上有進(jìn)步,而且能在學(xué)習(xí)上也能成為全班的領(lǐng)頭雁,在下學(xué)期能取得更大的進(jìn)步!

  7. 身為班委的你,對(duì)工作認(rèn)真負(fù)責(zé),以身作則,性格和善,與同學(xué)關(guān)系融洽,積極參加各項(xiàng)活動(dòng),不太張揚(yáng)的你顯得穩(wěn)重和踏實(shí),在學(xué)習(xí)上,你認(rèn)真聽(tīng)課,及時(shí)完成各科作業(yè),但是我總覺(jué)得你的學(xué)習(xí)還不夠主動(dòng),沒(méi)有形成自己的一套方法,若從被動(dòng)的學(xué)習(xí)中解脫出來(lái),應(yīng)該穩(wěn)定在班級(jí)前五名啊!加油!

  8. 你是個(gè)懂禮貌明事理的孩子,你能?chē)?yán)格遵守班級(jí)紀(jì)律,熱愛(ài)集體,對(duì)待學(xué)習(xí)態(tài)度端正,上課能夠?qū)P穆?tīng)講,課下能夠認(rèn)真完成作業(yè)。你的學(xué)習(xí)方法有待改進(jìn),若能做到學(xué)習(xí)時(shí)心無(wú)旁騖就好了,掌握知識(shí)也不夠牢固,思維能力要進(jìn)一步培養(yǎng)和提高。只要有恒心,有毅力,老師相信你會(huì)在各方面取得長(zhǎng)足進(jìn)步!

  9. 你為人熱情大方,能和同學(xué)友好相處。你為人正直誠(chéng)懇,尊敬老師,關(guān)心班集體,待人有禮,能認(rèn)真聽(tīng)從老師的教導(dǎo),自覺(jué)遵守學(xué)校的各項(xiàng)規(guī)章制度,抵制各種不良思想。有集體榮譽(yù)感,樂(lè)于為集體做事。學(xué)習(xí)刻苦,成績(jī)有所提高。上課能專心聽(tīng)講,思維活躍,積極回答問(wèn)題,積極思考,認(rèn)真做好筆記。今后如果能注意分配好學(xué)習(xí)時(shí)間,各科全面發(fā)展,均衡提高,相信一定會(huì)成為一名更加出色的學(xué)生。

  10. 記得和你說(shuō)過(guò),你是個(gè)太聰明的孩子,你反應(yīng)敏捷,活潑靈動(dòng)。但是做學(xué)問(wèn)是需要靜下心來(lái)老老實(shí)實(shí)去鉆研的,容不得賣(mài)弄小聰明和半點(diǎn)頑皮話。要知道,學(xué)如逆水行舟,不進(jìn)則退;心似平原野馬,易放難收!望你下學(xué)期重新抖擻精神早日進(jìn)入狀態(tài),不辜負(fù)關(guān)愛(ài)你的人對(duì)你的殷殷期盼。

高中數(shù)學(xué)教案7

  一、教學(xué)目標(biāo):

  掌握向量的概念、坐標(biāo)表示、運(yùn)算性質(zhì),做到融會(huì)貫通,能應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解決諸如平面幾何、解析幾何等的問(wèn)題。

  二、教學(xué)重點(diǎn):

  向量的性質(zhì)及相關(guān)知識(shí)的'綜合應(yīng)用。

  三、教學(xué)過(guò)程:

 。ㄒ唬┲饕R(shí):

  1、掌握向量的概念、坐標(biāo)表示、運(yùn)算性質(zhì),做到融會(huì)貫通,能應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解決諸如平面幾何、解析幾何等的問(wèn)題。

 。ǘ├}分析:略

  四、小結(jié):

  1、進(jìn)一步熟練有關(guān)向量的運(yùn)算和證明;能運(yùn)用解三角形的知識(shí)解決有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題,

  2、滲透數(shù)學(xué)建模的思想,切實(shí)培養(yǎng)分析和解決問(wèn)題的能力。

  五、作業(yè):

  略

高中數(shù)學(xué)教案8

  教學(xué)準(zhǔn)備

  教學(xué)目標(biāo)

  熟悉兩角和與差的正、余公式的'推導(dǎo)過(guò)程,提高邏輯推理能力。

  掌握兩角和與差的正、余弦公式,能用公式解決相關(guān)問(wèn)題。

  教學(xué)重難點(diǎn)

  熟練兩角和與差的正、余弦公式的正用、逆用和變用技巧。

  教學(xué)過(guò)程

  復(fù)習(xí)

  兩角差的余弦公式

  用- B代替B看看有什么結(jié)果?

高中數(shù)學(xué)教案9

  教學(xué)目標(biāo):

  1.了解反函數(shù)的概念,弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系.

  2.會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù).

  3.在嘗試、探索求反函數(shù)的過(guò)程中,深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí),總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟,加深對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí).

  4.進(jìn)一步完善學(xué)生思維的深刻性,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,用辯證的觀點(diǎn)分析問(wèn)題,培養(yǎng)抽象、概括的能力.

  教學(xué)重點(diǎn):求反函數(shù)的方法.

  教學(xué)難點(diǎn):反函數(shù)的概念.

  教學(xué)過(guò)程

  教學(xué)活動(dòng)

  設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課

  1.復(fù)習(xí)提問(wèn)

 、俸瘮(shù)的概念

 、趛=f(x)中各變量的意義

  2.同學(xué)們?cè)谖锢碚n學(xué)過(guò)勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,即S=vt和t=(其中速度v是常量),在S=vt 中位移S是時(shí)間t的函數(shù);在t=中,時(shí)間t是位移S的函數(shù).在這種情況下,我們說(shuō)t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù).什么是反函數(shù),如何求反函數(shù),就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

  3.板書(shū)課題

  由實(shí)際問(wèn)題引入新課,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,展示了教學(xué)目標(biāo).這樣既可以撥去"反函數(shù)"這一概念的神秘面紗,也可使學(xué)生知道學(xué)習(xí)這一概念的必要性.

  二、實(shí)例分析,組織探究

  1.問(wèn)題組一:

  (用投影給出函數(shù)與;與()的圖象)

  (1)這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系?這兩組函數(shù)有什么關(guān)系?(生答:與的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱;與()的圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱.是求一個(gè)數(shù)立方的運(yùn)算,而是求一個(gè)數(shù)立方根的運(yùn)算,它們互為逆運(yùn)算.同樣,與()也互為逆運(yùn)算.)

  (2)由,已知y能否求x?

  (3)是否是一個(gè)函數(shù)?它與有何關(guān)系?

  (4)與有何聯(lián)系?

  2.問(wèn)題組二:

  (1)函數(shù)y=2x 1(x是自變量)與函數(shù)x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數(shù)?

  (2)函數(shù)(x是自變量)與函數(shù)x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數(shù)?

  (3)函數(shù) ()的定義域與函數(shù)()的值域有什么關(guān)系?

  3.滲透反函數(shù)的概念.

  (教師點(diǎn)明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù),然后師生共同探究其特點(diǎn))

  從學(xué)生熟知的函數(shù)出發(fā),抽象出反函數(shù)的概念,符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力.

  通過(guò)這兩組問(wèn)題,為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊,利用舊知,引出新識(shí),在"最近發(fā)展區(qū)"設(shè)計(jì)問(wèn)題,使學(xué)生對(duì)反函數(shù)有一個(gè)直觀的粗略印象,為進(jìn)一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ).

  三、師生互動(dòng),歸納定義

  1.(根據(jù)上述實(shí)例,教師與學(xué)生共同歸納出反函數(shù)的定義)

  函數(shù)y=f(x)(x∈A) 中,設(shè)它的值域?yàn)?C.我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系,用 y 把 x 表示出來(lái),得到 x = j (y) .如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值,通過(guò)x = j (y),x在A中都有的值和它對(duì)應(yīng),那么, x = j (y)就表示y是自變量,x是自變量 y 的函數(shù).這樣的函數(shù) x = j (y)(y ∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù).記作: .考慮到"用 x表示自變量, y表示函數(shù)"的`習(xí)慣,將中的x與y對(duì)調(diào)寫(xiě)成.

  2.引導(dǎo)分析:

  1)反函數(shù)也是函數(shù);

  2)對(duì)應(yīng)法則為互逆運(yùn)算;

  3)定義中的"如果"意味著對(duì)于一個(gè)任意的函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō)不一定有反函數(shù);

  4)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù)x=f(y)的值域、定義域;

  5)函數(shù)y=f(x)與x=f(y)互為反函數(shù);

  6)要理解好符號(hào)f;

  7)交換變量x、y的原因.

  3.兩次轉(zhuǎn)換x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系

  (原函數(shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y 是等價(jià)的,原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價(jià)的)

  4.函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系

  函數(shù)y=f(x)

  函數(shù)

  定義域

  A

  C

  值 域

  C

  A

  四、應(yīng)用解題,總結(jié)步驟

  1.(投影例題)

  【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù)

  (1)y=3x-1 (2)y=x 1

  【例2】求函數(shù)的反函數(shù).

  (教師板書(shū)例題過(guò)程后,由學(xué)生總結(jié)求反函數(shù)步驟.)

  2.總結(jié)求函數(shù)反函數(shù)的步驟:

  1° 由y=f(x)反解出x=f(y).

  2° 把x=f(y)中 x與y互換得.

  3° 寫(xiě)出反函數(shù)的定義域.

  (簡(jiǎn)記為:反解、互換、寫(xiě)出反函數(shù)的定義域)【例3】(1)有沒(méi)有反函數(shù)?

  (2)的反函數(shù)是________.

  (3)(x<0)的反函數(shù)是__________.

  在上述探究的基礎(chǔ)上,揭示反函數(shù)的定義,學(xué)生有針對(duì)性地體會(huì)定義的特點(diǎn),進(jìn)而對(duì)定義有更深刻的認(rèn)識(shí),與自己的預(yù)設(shè)產(chǎn)生矛盾沖突,體會(huì)反函數(shù).在剖析定義的過(guò)程中,讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)與方程、一般到特殊的數(shù)學(xué)思想,并對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言有更好的把握.

  通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示,表格對(duì)照,使學(xué)生對(duì)反函數(shù)定義從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),從而消化理解.

  通過(guò)對(duì)具體例題的講解分析,在解題的步驟上和方法上為學(xué)生起示范作用,并及時(shí)歸納總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生分析、思考的習(xí)慣,以及歸納總結(jié)的能力.

  題目的設(shè)計(jì)遵循了從了解到理解,從掌握到應(yīng)用的不同層次要求,由淺入深,循序漸進(jìn).并體現(xiàn)了對(duì)定義的反思理解.學(xué)生思考練習(xí),師生共同分析糾正.

  五、鞏固強(qiáng)化,評(píng)價(jià)反饋

  1.已知函數(shù) y=f(x)存在反函數(shù),求它的反函數(shù) y =f( x)

  (1)y=-2x 3(xR) (2)y=-(xR,且x)

  ( 3 ) y=(xR,且x)

  2.已知函數(shù)f(x)=(xR,且x)存在反函數(shù),求f(7)的值.

  五、反思小結(jié),再度設(shè)疑

  本節(jié)課主要研究了反函數(shù)的定義,以及反函數(shù)的求解步驟.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象到底有什么特點(diǎn)呢?為什么具有這樣的特點(diǎn)呢?我們將在下節(jié)研究.

  (讓學(xué)生談一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會(huì),教師適時(shí)點(diǎn)撥)

  進(jìn)一步強(qiáng)化反函數(shù)的概念,并能正確求出反函數(shù).反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況,評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實(shí)程度.具體實(shí)踐中可采取同學(xué)板演、分組競(jìng)賽等多種形式調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性."問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟"學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂又帶著新的問(wèn)題走出課堂.

  六、作業(yè)

  習(xí)題2.4第1題,第2題

  進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí).

  教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

  "問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟".一個(gè)概念的形成是螺旋式上升的,一般要經(jīng)過(guò)具體到抽象,感性到理性的過(guò)程.本節(jié)教案通過(guò)一個(gè)物理學(xué)中的具體實(shí)例引入反函數(shù),進(jìn)而又通過(guò)若干函數(shù)的圖象進(jìn)一步加以誘導(dǎo)剖析,最終形成概念.

  反函數(shù)的概念是教學(xué)中的難點(diǎn),原因是其本身較為抽象,經(jīng)過(guò)兩次代換,又采用了抽象的符號(hào).由于沒(méi)有一一映射,逆映射等概念的支撐,使學(xué)生難以從本質(zhì)上去把握反函數(shù)的概念.為此,我們大膽地使用教材,把互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系預(yù)先揭示,進(jìn)而探究原因,尋找規(guī)律,程序是從問(wèn)題出發(fā),研究性質(zhì),進(jìn)而得出概念,這正是數(shù)學(xué)研究的順序,符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,有助于概念的建立與形成.另外,對(duì)概念的剖析以及習(xí)題的配備也很精當(dāng),通過(guò)不同層次的問(wèn)題,滿足學(xué)生多層次需要,起到評(píng)價(jià)反饋的作用.通過(guò)對(duì)函數(shù)與方程的分析,互逆探索,動(dòng)畫(huà)演示,表格對(duì)照、學(xué)生討論等多種形式的教學(xué)環(huán)節(jié),充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探求欲,在探究與剖析的過(guò)程中,完善學(xué)生思維的深刻性,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.使學(xué)生自然成為學(xué)習(xí)的主人。

高中數(shù)學(xué)教案10

  教學(xué)目標(biāo)

  (1)了解算法的含義,體會(huì)算法思想。

  (2)會(huì)用自然語(yǔ)言和數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述簡(jiǎn)單具體問(wèn)題的算法;

  (3)學(xué)習(xí)有條理地、清晰地表達(dá)解決問(wèn)題的步驟,培養(yǎng)邏輯思維能力與表達(dá)能力。

  教學(xué)重難點(diǎn)

  重點(diǎn):算法的含義、解二元一次方程組的算法設(shè)計(jì)。

  難點(diǎn):把自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為算法語(yǔ)言。

  情境導(dǎo)入

  電影《神槍手》中描述的凌靖是一個(gè)天生的狙擊手,他百發(fā)百中,最難打的位置對(duì)他來(lái)說(shuō)也是輕而易舉,是香港警察狙擊手隊(duì)伍的第一神槍手、作為一名狙擊手,要想成功地完成一次狙擊任務(wù),一般要按步驟完成以下幾步:

  第一步:觀察、等待目標(biāo)出現(xiàn)(用望遠(yuǎn)鏡或瞄準(zhǔn)鏡);

  第二步:瞄準(zhǔn)目標(biāo);

  第三步:計(jì)算(或估測(cè))風(fēng)速、距離、空氣濕度、空氣密度;

  第四步:根據(jù)第三步的結(jié)果修正彈著點(diǎn);

  第五步:開(kāi)槍;

  第六步:迅速轉(zhuǎn)移(或隱蔽)

  以上這種完成狙擊任務(wù)的方法、步驟在數(shù)學(xué)上我們叫算法。

  課堂探究

  預(yù)習(xí)提升

  1、定義:算法可以理解為由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟,或者看成按照要求設(shè)計(jì)好的有限的確切的計(jì)算序列,并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問(wèn)題。

  2、描述方式

  自然語(yǔ)言、數(shù)學(xué)語(yǔ)言、形式語(yǔ)言(算法語(yǔ)言)、框圖。

  3、算法的要求

  (1)寫(xiě)出的算法,必須能解決一類問(wèn)題,且能重復(fù)使用;

  (2)算法過(guò)程要能一步一步執(zhí)行,每一步執(zhí)行的操作,必須確切,不能含混不清,而且經(jīng)過(guò)有限步后能得出結(jié)果。

  4、算法的特征

  (1)有限性:一個(gè)算法應(yīng)包括有限的操作步驟,能在執(zhí)行有窮的操作步驟之后結(jié)束。

  (2)確定性:算法的計(jì)算規(guī)則及相應(yīng)的計(jì)算步驟必須是唯一確定的。

  (3)可行性:算法中的每一個(gè)步驟都是可以在有限的時(shí)間內(nèi)完成的基本操作,并能得到確定的結(jié)果。

  (4)順序性:算法從初始步驟開(kāi)始,分為若干個(gè)明確的步驟,前一步是后一步的前提,后一步是前一步的后續(xù),且除了最后一步外,每一個(gè)步驟只有一個(gè)確定的后續(xù)。

  (5)不唯一性:解決同一問(wèn)題的算法可以是不唯一的

  課堂典例講練

  命題方向1對(duì)算法意義的理解

  例1、下列敘述中,

 、僦矘(shù)需要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;

  ②按順序進(jìn)行下列運(yùn)算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,…99+1=100;

 、蹚那鄭u乘動(dòng)車(chē)到濟(jì)南,再?gòu)臐?jì)南乘飛機(jī)到倫敦觀看奧運(yùn)會(huì)開(kāi)幕式;

 、3x>x+1;

 、萸笏心鼙3整除的正數(shù),即3,6,9,12。

  能稱為算法的.個(gè)數(shù)為(  )

  A、2

  B、3

  C、4

  D、5

  【解析】根據(jù)算法的含義和特征:①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④,3x>x+1不是一個(gè)明確的步驟,不符合明確性;⑤的步驟是無(wú)窮的,與算法的有限性矛盾。

  【答案】B

  [規(guī)律總結(jié)]

  1、正確理解算法的概念及其特點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵、

  2、針對(duì)判斷語(yǔ)句是否是算法的問(wèn)題,要看它的步驟是否是明確的和有效的,而且能在有限步驟之內(nèi)解決這一問(wèn)題、

  【變式訓(xùn)練】下列對(duì)算法的理解不正確的是________

 、僖粋(gè)算法應(yīng)包含有限的步驟,而不能是無(wú)限的

  ②算法可以理解為由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序構(gòu)成的完整的解題步驟

 、鬯惴ㄖ械拿恳徊蕉紤(yīng)當(dāng)有效地執(zhí)行,并得到確定的結(jié)果

 、芤粋(gè)問(wèn)題只能設(shè)計(jì)出一個(gè)算法

  【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確;

  由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確;

  由算法的每一步都是確定的,且每一步都應(yīng)有確定的結(jié)果故③正確;

  由對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法故④不正確。

  【答案】④

  命題方向2解方程(組)的算法

  例2、給出求解方程組的一個(gè)算法。

  [思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法,這兩種方法沒(méi)有本質(zhì)的差別,為了適用于解一般的線性方程組,以便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn),我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個(gè)三角形方程組,再通過(guò)回代方程求出方程組的解)解線性方程組、

  [規(guī)范解答]方法一:算法如下:

  第一步,①×(-2)+②,得(-2+5)y=-14+11

  即方程組可化為

  第二步,解方程③,可得y=-1,④

  第三步,將④代入①,可得2x-1=7,x=4

  第四步,輸出4,-1

  方法二:算法如下:

  第一步,由①式可以得到y(tǒng)=7-2x,⑤

  第二步,把y=7-2x代入②,得x=4

  第三步,把x=4代入⑤,得y=-1

  第四步,輸出4,-1

  [規(guī)律總結(jié)]1、本題用了2種方法求解,對(duì)于問(wèn)題的求解過(guò)程,我們既要強(qiáng)調(diào)對(duì)“通法、通解”的理解,又要強(qiáng)調(diào)對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用。

  2、設(shè)計(jì)算法時(shí),經(jīng)常遇到解方程(組)的問(wèn)題,一般是按照數(shù)學(xué)上解方程(組)的方法進(jìn)行設(shè)計(jì),但應(yīng)注意全面考慮方程解的情況,即先確定方程(組)是否有解,有解時(shí)有幾個(gè)解,然后根據(jù)求解步驟設(shè)計(jì)算法步驟。

  【變式訓(xùn)練】

  【解】算法如下:S1,①+2×②得5x=1;③

  S2,解③得x=;

  S3,②-①×2得5y=3;④

  S4,解④得y=;

  命題方向3篩選問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)

  例3、設(shè)計(jì)一個(gè)算法,對(duì)任意3個(gè)整數(shù)a、b、c,求出其中的最小值、

  [思路分析]比較a,b比較m與c―→最小數(shù)

  [規(guī)范解答]算法步驟如下:

  1、比較a與b的大小,若a

  2、比較m與c的大小,若m

  [規(guī)律總結(jié)]求最小(大)數(shù)就是從中篩選出最小(大)的一個(gè),篩選過(guò)程中的每一步都是比較兩個(gè)數(shù)的大小,保證了篩選的可行性,這種方法可以推廣到從多個(gè)不同數(shù)中篩選出滿足要求的一個(gè)。

  【變式訓(xùn)練】在下列數(shù)字序列中,寫(xiě)出搜索89的算法:

  21,3,0,9,15,72,89,91,93

  [解析]1、先找到序列中的第一個(gè)數(shù)m,m=21;

  2、將m與89比較,是否相等,如果相等,則搜索到89;

  3、如果m與89不相等,則往下執(zhí)行;

  4、繼續(xù)將序列中的其他數(shù)賦給m,重復(fù)第2步,直到搜索到89。

  命題方向4非數(shù)值性問(wèn)題的算法

  例4、一個(gè)人帶三只狼和三只羚羊過(guò)河,只有一條船,同船可以容一個(gè)人和兩只動(dòng)物,沒(méi)有人在的時(shí)候,如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量,狼就會(huì)吃掉羚羊。

  (1)設(shè)計(jì)安全渡河的算法;

  (2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么?

高中數(shù)學(xué)教案11

  教學(xué)目標(biāo)

  (1)掌握直線方程的一般形式,掌握直線方程幾種形式之間的互化.

 。2)理解直線與二元一次方程的關(guān)系及其證明

 。3)培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力、分類討論能力、逆向思維的習(xí)慣和形成特殊與一般辯證統(tǒng)一的觀點(diǎn).

  教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):直線方程的一般式.直線與二元一次方程 ( 、 不同時(shí)為0)的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其證明.

  教學(xué)用具:計(jì)算機(jī)

  教學(xué)方法:?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法,討論法

  教學(xué)過(guò)程

  下面給出教學(xué)實(shí)施過(guò)程設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)要思路:

  教學(xué)設(shè)計(jì)思路

  (一)引入的設(shè)計(jì)

  前邊學(xué)習(xí)了如何根據(jù)所給條件求出直線方程的方法,看下面問(wèn)題:

  問(wèn):說(shuō)出過(guò)點(diǎn) (2,1),斜率為2的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類,為什么?

  答:直線方程是 ,屬于二元一次方程,因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè),它們的最高次數(shù)為一次.

  肯定學(xué)生回答,并糾正學(xué)生中不規(guī)范的表述.再看一個(gè)問(wèn)題:

  問(wèn):求出過(guò)點(diǎn) , 的直線的方程,并觀察方程屬于哪一類,為什么?

  答:直線方程是 (或其它形式),也屬于二元一次方程,因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè),它們的最高次數(shù)為一次.

  肯定學(xué)生回答后強(qiáng)調(diào)“也是二元一次方程,都是因?yàn)槲粗獢?shù)有兩個(gè),它們的最高次數(shù)為一次”.

  啟發(fā):你在想什么(或你想到了什么)?誰(shuí)來(lái)談?wù)?各小組可以討論討論.

  學(xué)生紛紛談出自己的想法,教師邊評(píng)價(jià)邊啟發(fā)引導(dǎo),使學(xué)生的認(rèn)識(shí)統(tǒng)一到如下問(wèn)題:

  【問(wèn)題1】“任意直線的方程都是二元一次方程嗎?”

 。ǘ┍竟(jié)主體內(nèi)容教學(xué)的設(shè)計(jì)

  這是本節(jié)課要解決的第一個(gè)問(wèn)題,如何解決?自己先研究研究,也可以小組研究,確定解決問(wèn)題的思路.

  學(xué)生或獨(dú)立研究,或合作研究,教師巡視指導(dǎo).

  經(jīng)過(guò)一定時(shí)間的研究,教師組織開(kāi)展集體討論.首先讓學(xué)生陳述解決思路或解決方案:

  思路一:…

  思路二:…

  ……

  教師組織評(píng)價(jià),確定最優(yōu)方案(其它待課下研究)如下:

  按斜率是否存在,任意直線 的位置有兩種可能,即斜率 存在或不存在.

  當(dāng) 存在時(shí),直線 的截距 也一定存在,直線 的方程可表示為 ,它是二元一次方程.

  當(dāng) 不存在時(shí),直線 的方程可表示為 形式的方程,它是二元一次方程嗎?

  學(xué)生有的認(rèn)為是有的認(rèn)為不是,此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生,逐步認(rèn)識(shí)到把它看成二元一次方程的合理性:

  平面直角坐標(biāo)系中直線 上點(diǎn)的坐標(biāo)形式,與其它直線上點(diǎn)的坐標(biāo)形式?jīng)]有任何區(qū)別,根據(jù)直線方程的概念,方程 解的形式也是二元方程的解的形式,因此把它看成形如 的二元一次方程是合理的.

  綜合兩種情況,我們得出如下結(jié)論:

  在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任何一條直線,都有一條表示這條直線的'關(guān)于 、 的二元一次方程.

  至此,我們的問(wèn)題1就解決了.簡(jiǎn)單點(diǎn)說(shuō)就是:直線方程都是二元一次方程.而且這個(gè)方程一定可以表示成 或 的形式,準(zhǔn)確地說(shuō)應(yīng)該是“要么形如 這樣,要么形如 這樣的方程”.

  同學(xué)們注意:這樣表達(dá)起來(lái)是不是很啰嗦,能不能有一個(gè)更好的表達(dá)?

  學(xué)生們不難得出:二者可以概括為統(tǒng)一的形式.

  這樣上邊的結(jié)論可以表述如下:

  在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于任何一條直線,都有一條表示這條直線的形如 (其中 、 不同時(shí)為0)的二元一次方程.

  啟發(fā):任何一條直線都有這種形式的方程.你是否覺(jué)得還有什么與之相關(guān)的問(wèn)題呢?

  【問(wèn)題2】任何形如 (其中 、 不同時(shí)為0)的二元一次方程都表示一條直線嗎?

  不難看出上邊的結(jié)論只是直線與方程相互關(guān)系的一個(gè)方面,這個(gè)問(wèn)題是它的另一方面.這是顯然的嗎?不是,因此也需要像剛才一樣認(rèn)真地研究,得到明確的結(jié)論.那么如何研究呢?

  師生共同討論,評(píng)價(jià)不同思路,達(dá)成共識(shí):

  回顧上邊解決問(wèn)題的思路,發(fā)現(xiàn)原路返回就是非常好的思路,即方程 (其中 、 不同時(shí)為0)系數(shù) 是否為0恰好對(duì)應(yīng)斜率 是否存在,即

 。1)當(dāng) 時(shí),方程可化為

  這是表示斜率為 、在 軸上的截距為 的直線.

 。2)當(dāng) 時(shí),由于 、 不同時(shí)為0,必有 ,方程可化為

  這表示一條與 軸垂直的直線.

  因此,得到結(jié)論:

  在平面直角坐標(biāo)系中,任何形如 (其中 、 不同時(shí)為0)的二元一次方程都表示一條直線.

  為方便,我們把 (其中 、 不同時(shí)為0)稱作直線方程的一般式是合理的.

  【動(dòng)畫(huà)演示】

  演示“直線各參數(shù)”文件,體會(huì)任何二元一次方程都表示一條直線.

  至此,我們的第二個(gè)問(wèn)題也圓滿解決,而且我們還發(fā)現(xiàn)上述兩個(gè)問(wèn)題其實(shí)是一個(gè)大問(wèn)題的兩個(gè)方面,這個(gè)大問(wèn)題揭示了直線與二元一次方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系,同時(shí),直線方程的一般形式是對(duì)直線特殊形式的抽象和概括,而且抽象的層次越高越簡(jiǎn)潔,我們還體會(huì)到了特殊與一般的轉(zhuǎn)化關(guān)系.

 。ㄈ┚毩(xí)鞏固、總結(jié)提高、板書(shū)和作業(yè)等環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)

  略

高中數(shù)學(xué)教案12

  【課題名稱】

  《等差數(shù)列》的導(dǎo)入

  【授課年級(jí)】

  高中二年級(jí)

  【教學(xué)重點(diǎn)】

  理解等差數(shù)列的概念,能夠運(yùn)用等差數(shù)列的定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列。

  【教學(xué)難點(diǎn)】

  等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列“等差”特點(diǎn)的理解,

  【教具準(zhǔn)備】多媒體課件、投影儀

  【三維目標(biāo)】

  ㈠知識(shí)目標(biāo):

  了解公差的概念,明確一個(gè)等差數(shù)列的限定條件,能根據(jù)定義判斷一個(gè)等差數(shù)列是否是一個(gè)等差數(shù)列;

  ㈡能力目標(biāo):

  通過(guò)尋找等差數(shù)列的共同特征,培養(yǎng)學(xué)生的觀察力以及歸納推理的能力;

  ㈢情感目標(biāo):

  通過(guò)對(duì)等差數(shù)列概念的歸納概括,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析資料的能力。

  【教學(xué)過(guò)程】

  導(dǎo)入新課

  師:上兩節(jié)課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義以及給出表示數(shù)列的幾種方法—列舉法、通項(xiàng)法,遞推公式、圖像法。這些方法分別從不同的角度反映了數(shù)列的特點(diǎn)。下面我們觀察以下的幾個(gè)數(shù)列的例子:

  (1)我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù),從0開(kāi)始,每個(gè)5個(gè)數(shù)可以得到數(shù)列:0,5,10,15,20,()

  (2)2000年,在澳大利亞悉尼舉行的奧運(yùn)會(huì)上,女子舉重被正式列為比賽項(xiàng)目,該項(xiàng)目工設(shè)置了7個(gè)級(jí)別,其中較輕的4個(gè)級(jí)別體重組成的數(shù)列(單位:kg)為48,53,58,63,()試問(wèn)第五個(gè)級(jí)別體重多少?

  (3)為了保證優(yōu)質(zhì)魚(yú)類有良好的生活環(huán)境,水庫(kù)管理員定期放水清庫(kù)以清除水庫(kù)中的.雜魚(yú)。如果一個(gè)水庫(kù)的水位為18m,自然放水每天水位降低2.5m,最低降至5m。即可得到一個(gè)數(shù)列:18,15.5,13,10.5,8,(),則第六個(gè)數(shù)應(yīng)為多少?

  (4)10072,10144,10216,(),10360

  請(qǐng)同學(xué)們回答以上的四個(gè)問(wèn)題

  生:第一個(gè)數(shù)列的第6項(xiàng)為25,第二個(gè)數(shù)列的第5個(gè)數(shù)為68,第三個(gè)數(shù)列的第6個(gè)數(shù)為5.5,第四個(gè)數(shù)列的第4個(gè)數(shù)為10288。

  師:我來(lái)問(wèn)一下,你是依據(jù)什么得到了這幾個(gè)數(shù)的呢?請(qǐng)以第二個(gè)數(shù)列為例說(shuō)明一下。

  生:第二個(gè)數(shù)列的后一項(xiàng)總比前一項(xiàng)多5,依據(jù)這個(gè)規(guī)律我就得到了這個(gè)數(shù)列的第5個(gè)數(shù)為68.

  師:說(shuō)的很好!同學(xué)們?cè)僮屑?xì)地觀察一下以上的四個(gè)數(shù)列,看看以上的四個(gè)數(shù)列是否有什么共同特征?請(qǐng)注意,是共同特征。

  生1:相鄰的兩項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。

  師:很好!那作差是否有順序?是否可以顛倒?

  生2:作差的順序是后項(xiàng)減去前項(xiàng),不能顛倒!

  師:正如生1的總結(jié),這四個(gè)數(shù)列有共同的特征:從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)(即等差)。我們叫這樣的數(shù)列為等差數(shù)列。這就是我們這節(jié)課要研究的內(nèi)容。

  推進(jìn)新課

  等差數(shù)列的定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。從剛才的分析,同學(xué)們應(yīng)該注意公差d一定是由后項(xiàng)減前項(xiàng)。

  師:有哪個(gè)同學(xué)知道定義中的關(guān)鍵字是什么?

  生2:“從第二項(xiàng)起”和“同一個(gè)常數(shù)”

高中數(shù)學(xué)教案13

  教學(xué)目標(biāo)

  理解數(shù)列的概念,掌握數(shù)列的運(yùn)用

  教學(xué)重難點(diǎn)

  理解數(shù)列的概念,掌握數(shù)列的運(yùn)用

  教學(xué)過(guò)程

  【知識(shí)點(diǎn)精講】

  1、數(shù)列:按照一定次序排列的一列數(shù)(與順序有關(guān))

  2、通項(xiàng)公式:數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示an=f(n)。

  (通項(xiàng)公式不)

  3、數(shù)列的.表示:

  (1)列舉法:如1,3,5,7,9……;

  (2)圖解法:由(n,an)點(diǎn)構(gòu)成;

  (3)解析法:用通項(xiàng)公式表示,如an=2n+1

  (4)遞推法:用前n項(xiàng)的值與它相鄰的項(xiàng)之間的關(guān)系表示各項(xiàng),如a1=1,an=1+2an-1

  4、數(shù)列分類:有窮數(shù)列,無(wú)窮數(shù)列;遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,擺動(dòng)數(shù)列,常數(shù)數(shù)列;有界數(shù)列,xx數(shù)列

  5、任意數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的性質(zhì)

高中數(shù)學(xué)教案14

  教學(xué)目標(biāo):

  1。了解反函數(shù)的概念,弄清原函數(shù)與反函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系。

  2。會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)。

  3。在嘗試、探索求反函數(shù)的過(guò)程中,深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí),總結(jié)出求反函數(shù)的一般步驟,加深對(duì)函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合以及由特殊到一般等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)。

  4。進(jìn)一步完善學(xué)生思維的深刻性,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力,用辯證的觀點(diǎn)分析問(wèn)題,培養(yǎng)抽象、概括的能力。

  教學(xué)重點(diǎn):

  求反函數(shù)的方法。

  教學(xué)難點(diǎn):

  反函數(shù)的概念。

  教學(xué)過(guò)程:

  教學(xué)活動(dòng)

  設(shè)計(jì)意圖一、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課

  1。復(fù)習(xí)提問(wèn)

 、俸瘮(shù)的概念

 、趛=f(x)中各變量的意義

  2。同學(xué)們?cè)谖锢碚n學(xué)過(guò)勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系,即S=vt和t=(其中速度v是常量),在S=vt 中位移S是時(shí)間t的函數(shù);在t=中,時(shí)間t是位移S的函數(shù)。在這種情況下,我們說(shuō)t=是函數(shù)S=vt的反函數(shù)。什么是反函數(shù),如何求反函數(shù),就是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

  3。板書(shū)課題

  由實(shí)際問(wèn)題引入新課,激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,展示了教學(xué)目標(biāo)。這樣既可以撥去"反函數(shù)"這一概念的神秘面紗,也可使學(xué)生知道學(xué)習(xí)這一概念的必要性。

  二、實(shí)例分析,組織探究

  1。問(wèn)題組一:

 。ㄓ猛队敖o出函數(shù)與;與()的圖象)

 。1)這兩組函數(shù)的圖像有什么關(guān)系?這兩組函數(shù)有什么關(guān)系?(生答:與的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱;與()的圖象也關(guān)于直線y=x對(duì)稱。是求一個(gè)數(shù)立方的運(yùn)算,而是求一個(gè)數(shù)立方根的運(yùn)算,它們互為逆運(yùn)算。同樣,與()也互為逆運(yùn)算。)

  (2)由,已知y能否求x?

 。3)是否是一個(gè)函數(shù)?它與有何關(guān)系?

 。4)與有何聯(lián)系?

  2。問(wèn)題組二:

 。1)函數(shù)y=2x 1(x是自變量)與函數(shù)x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數(shù)?

  (2)函數(shù)(x是自變量)與函數(shù)x=2y 1(y是自變量)是否是同一函數(shù)?

 。3)函數(shù) ()的定義域與函數(shù)()的值域有什么關(guān)系?

  3。滲透反函數(shù)的概念。

 。ń處燑c(diǎn)明這樣的函數(shù)即互為反函數(shù),然后師生共同探究其特點(diǎn))

  從學(xué)生熟知的函數(shù)出發(fā),抽象出反函數(shù)的概念,符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),有利于培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括的能力。

  通過(guò)這兩組問(wèn)題,為反函數(shù)概念的引出做了鋪墊,利用舊知,引出新識(shí),在"最近發(fā)展區(qū)"設(shè)計(jì)問(wèn)題,使學(xué)生對(duì)反函數(shù)有一個(gè)直觀的粗略印象,為進(jìn)一步抽象反函數(shù)的概念奠定基礎(chǔ)。

  三、師生互動(dòng),歸納定義

  1。(根據(jù)上述實(shí)例,教師與學(xué)生共同歸納出反函數(shù)的定義)

  函數(shù)y=f(x)(x∈A) 中,設(shè)它的值域?yàn)?C。我們根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系,用 y 把 x 表示出來(lái),得到 x = j (y) 。如果對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值,通過(guò)x = j (y),x在A中都有的值和它對(duì)應(yīng),那么, x = j (y)就表示y是自變量,x是自變量 y 的函數(shù)。這樣的函數(shù) x = j (y)(y ∈C)叫做函數(shù)y=f(x)(x∈A)的反函數(shù)。記作: ?紤]到"用 x表示自變量, y表示函數(shù)"的習(xí)慣,將中的x與y對(duì)調(diào)寫(xiě)成。

  2。引導(dǎo)分析:

  1)反函數(shù)也是函數(shù);

  2)對(duì)應(yīng)法則為互逆運(yùn)算;

  3)定義中的"如果"意味著對(duì)于一個(gè)任意的函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō)不一定有反函數(shù);

  4)函數(shù)y=f(x)的定義域、值域分別是函數(shù)x=f(y)的值域、定義域;

  5)函數(shù)y=f(x)與x=f(y)互為反函數(shù);

  6)要理解好符號(hào)f;

  7)交換變量x、y的原因。

  3。兩次轉(zhuǎn)換x、y的對(duì)應(yīng)關(guān)系

  (原函數(shù)中的自變量x與反函數(shù)中的函數(shù)值y 是等價(jià)的,原函數(shù)中的函數(shù)值y與反函數(shù)中的自變量x是等價(jià)的)

  4。函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系

  函數(shù)y=f(x)

  函數(shù)

  定義域

  A

  C

  值 域

  C

  A

  四、應(yīng)用解題,總結(jié)步驟

  1。(投影例題)

  【例1】求下列函數(shù)的反函數(shù)

  (1)y=3x—1 (2)y=x 1

  【例2】求函數(shù)的反函數(shù)。

 。ń處煱鍟(shū)例題過(guò)程后,由學(xué)生總結(jié)求反函數(shù)步驟。)

  2。總結(jié)求函數(shù)反函數(shù)的步驟:

  1° 由y=f(x)反解出x=f(y)。

  2° 把x=f(y)中 x與y互換得。

  3° 寫(xiě)出反函數(shù)的.定義域。

 。ê(jiǎn)記為:反解、互換、寫(xiě)出反函數(shù)的定義域)【例3】(1)有沒(méi)有反函數(shù)?

 。2)的反函數(shù)是________。

 。3)(x<0)的反函數(shù)是__________。

  在上述探究的基礎(chǔ)上,揭示反函數(shù)的定義,學(xué)生有針對(duì)性地體會(huì)定義的特點(diǎn),進(jìn)而對(duì)定義有更深刻的認(rèn)識(shí),與自己的預(yù)設(shè)產(chǎn)生矛盾沖突,體會(huì)反函數(shù)。在剖析定義的過(guò)程中,讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)與方程、一般到特殊的數(shù)學(xué)思想,并對(duì)數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言有更好的把握。

  通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示,表格對(duì)照,使學(xué)生對(duì)反函數(shù)定義從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),從而消化理解。

  通過(guò)對(duì)具體例題的講解分析,在解題的步驟上和方法上為學(xué)生起示范作用,并及時(shí)歸納總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生分析、思考的習(xí)慣,以及歸納總結(jié)的能力。

  題目的設(shè)計(jì)遵循了從了解到理解,從掌握到應(yīng)用的不同層次要求,由淺入深,循序漸進(jìn)。并體現(xiàn)了對(duì)定義的反思理解。學(xué)生思考練習(xí),師生共同分析糾正。

  五、鞏固強(qiáng)化,評(píng)價(jià)反饋

  1。已知函數(shù) y=f(x)存在反函數(shù),求它的反函數(shù) y =f( x)

  (1)y=—2x 3(xR) (2)y=—(xR,且x)

  ( 3 ) y=(xR,且x)

  2。已知函數(shù)f(x)=(xR,且x)存在反函數(shù),求f(7)的值。

  五、反思小結(jié),再度設(shè)疑

  本節(jié)課主要研究了反函數(shù)的定義,以及反函數(shù)的求解步驟;榉春瘮(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象到底有什么特點(diǎn)呢?為什么具有這樣的特點(diǎn)呢?我們將在下節(jié)研究。

  (讓學(xué)生談一下本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會(huì),教師適時(shí)點(diǎn)撥)

  進(jìn)一步強(qiáng)化反函數(shù)的概念,并能正確求出反函數(shù)。反饋學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況,評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)目標(biāo)的落實(shí)程度。具體實(shí)踐中可采取同學(xué)板演、分組競(jìng)賽等多種形式調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。"問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟"學(xué)生帶著問(wèn)題走進(jìn)課堂又帶著新的問(wèn)題走出課堂。

  六、作業(yè)

  習(xí)題2。4 第1題,第2題

  進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)。

  教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

  "問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟"。一個(gè)概念的形成是螺旋式上升的,一般要經(jīng)過(guò)具體到抽象,感性到理性的過(guò)程。本節(jié)教案通過(guò)一個(gè)物理學(xué)中的具體實(shí)例引入反函數(shù),進(jìn)而又通過(guò)若干函數(shù)的圖象進(jìn)一步加以誘導(dǎo)剖析,最終形成概念。

  反函數(shù)的概念是教學(xué)中的難點(diǎn),原因是其本身較為抽象,經(jīng)過(guò)兩次代換,又采用了抽象的符號(hào)。由于沒(méi)有一一映射,逆映射等概念的支撐,使學(xué)生難以從本質(zhì)上去把握反函數(shù)的概念。為此,我們大膽地使用教材,把互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)系預(yù)先揭示,進(jìn)而探究原因,尋找規(guī)律,程序是從問(wèn)題出發(fā),研究性質(zhì),進(jìn)而得出概念,這正是數(shù)學(xué)研究的順序,符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,有助于概念的建立與形成。另外,對(duì)概念的剖析以及習(xí)題的配備也很精當(dāng),通過(guò)不同層次的問(wèn)題,滿足學(xué)生多層次需要,起到評(píng)價(jià)反饋的作用。通過(guò)對(duì)函數(shù)與方程的分析,互逆探索,動(dòng)畫(huà)演示,表格對(duì)照、學(xué)生討論等多種形式的教學(xué)環(huán)節(jié),充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的探求欲,在探究與剖析的過(guò)程中,完善學(xué)生思維的深刻性,培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維。使學(xué)生自然成為學(xué)習(xí)的主人。

高中數(shù)學(xué)教案15

  教學(xué)目的:

 。1)使學(xué)生初步理解集合的概念,知道常用數(shù)集的概念及記法

 。2)使學(xué)生初步了解“屬于”關(guān)系的意義

  (3)使學(xué)生初步了解有限集、無(wú)限集、空集的意義

  教學(xué)重點(diǎn):集合的基本概念及表示方法

  教學(xué)難點(diǎn):運(yùn)用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法,正確表示一些簡(jiǎn)單的集合

  授課類型:新授課

  課時(shí)安排:1課時(shí)

  教 具:多媒體、實(shí)物投影儀

  內(nèi)容分析:

  集合是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基本概念 在小學(xué)數(shù)學(xué)中,就滲透了集合的初步概念,到了初中,更進(jìn)一步應(yīng)用集合的語(yǔ)言表述一些問(wèn)題 例如,在代數(shù)中用到的有數(shù)集、解集等;在幾何中用到的有點(diǎn)集 至于邏輯,可以說(shuō),從開(kāi)始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就離不開(kāi)對(duì)邏輯知識(shí)的掌握和運(yùn)用,基本的邏輯知識(shí)在日常生活、學(xué)習(xí)、工作中,也是認(rèn)識(shí)問(wèn)題、研究問(wèn)題不可缺少的工具 這些可以幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義,也是本章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)把集合的初步知識(shí)與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)安排在高中數(shù)學(xué)的最開(kāi)始,是因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)中,這些知識(shí)與其他內(nèi)容有著密切聯(lián)系,它們是學(xué)習(xí)、掌握和使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言的基礎(chǔ) 例如,下一章講函數(shù)的概念與性質(zhì),就離不開(kāi)集合與邏輯。

  本節(jié)首先從初中代數(shù)與幾何涉及的集合實(shí)例入手,引出集合與集合的元素的概念,并且結(jié)合實(shí)例對(duì)集合的概念作了說(shuō)明 然后,介紹了集合的常用表示方法,包括列舉法、描述法,還給出了畫(huà)圖表示集合的例子。

  這節(jié)課主要學(xué)習(xí)全章的引言和集合的基本概念 學(xué)習(xí)引言是引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,使學(xué)生認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)本章的意義 本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是集合的基本概念集合是集合論中的原始的、不定義的概念 在開(kāi)始接觸集合的概念時(shí),主要還是通過(guò)實(shí)例,對(duì)概念有一個(gè)初步認(rèn)識(shí) 教科書(shū)給出的“一般地,某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,也簡(jiǎn)稱集 ”這句話,只是對(duì)集合概念的描述性說(shuō)明。

  教學(xué)過(guò)程:

  一、復(fù)習(xí)引入:

  1、簡(jiǎn)介數(shù)集的發(fā)展,復(fù)習(xí)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù),質(zhì)數(shù)與和數(shù);

  2、教材中的章頭引言;

  3、集合論的創(chuàng)始人——康托爾(德國(guó)數(shù)學(xué)家)(見(jiàn)附錄);

  4.“物以類聚”,“人以群分”;

  5.教材中例子(P4)

  二、講解新課:

  閱讀教材第一部分,問(wèn)題如下:

 。1)有那些概念?是如何定義的?

 。2)有那些符號(hào)?是如何表示的?

  (3)集合中元素的特性是什么?

 。ㄒ唬┘系挠嘘P(guān)概念:

  由一些數(shù)、一些點(diǎn)、一些圖形、一些整式、一些物體、一些人組成的。我們說(shuō),每一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合,或者說(shuō),某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合,也簡(jiǎn)稱集。集合中的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素。

  定義:一般地,某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合.

  1、集合的概念

 。1)集合:某些指定的對(duì)象集在一起就形成一個(gè)集合(簡(jiǎn)稱集)

  (2)元素:集合中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素

  2、常用數(shù)集及記法

 。1)非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集):全體非負(fù)整數(shù)的集合 記作N,

  (2)正整數(shù)集:非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集 記作N*或N+

 。3)整數(shù)集:全體整數(shù)的集合 記作Z ,

 。4)有理數(shù)集:全體有理數(shù)的集合 記作Q ,

 。5)實(shí)數(shù)集:全體實(shí)數(shù)的集合 記作R

  注:(1)自然數(shù)集與非負(fù)整數(shù)集是相同的,也就是說(shuō),自然數(shù)集包括數(shù)0

 。2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的.集 記作N*或N+ Q、Z、R等其它數(shù)集內(nèi)排除0的集,也是這樣表示,例如,整數(shù)集內(nèi)排除0的集,表示成Z*

  3、元素對(duì)于集合的隸屬關(guān)系

  (1)屬于:如果a是集合A的元素,就說(shuō)a屬于A,記作a∈A

 。2)不屬于:如果a不是集合A的元素,就說(shuō)a不屬于A,記作

  4、集合中元素的特性

 。1)確定性:按照明確的判斷標(biāo)準(zhǔn)給定一個(gè)元素或者在這個(gè)集合里,或者不在,不能模棱兩可

  (2)互異性:集合中的元素沒(méi)有重復(fù)

 。3)無(wú)序性:集合中的元素沒(méi)有一定的順序(通常用正常的順序?qū)懗觯?/p>

  5、⑴集合通常用大寫(xiě)的拉丁字母表示,如A、B、C、P、Q……元素通常用小寫(xiě)的拉丁字母表示,如a、b、c、p、q……

  ⑵“∈”的開(kāi)口方向,不能把a(bǔ)∈A顛倒過(guò)來(lái)寫(xiě)

  三、練習(xí)題:

  1、教材P5練習(xí)1、2

  2、下列各組對(duì)象能確定一個(gè)集合嗎?

 。1)所有很大的實(shí)數(shù) (不確定)

 。2)好心的人 (不確定)

 。3)1,2,2,3,4,5.(有重復(fù))

  3、設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),那么 可能取的值組成集合的元素是_—2,0,2__

  4、由實(shí)數(shù)x,-x,|x|, 所組成的集合,最多含( A )

  (A)2個(gè)元素 (B)3個(gè)元素 (C)4個(gè)元素 (D)5個(gè)元素

  5、設(shè)集合G中的元素是所有形如a+b (a∈Z, b∈Z)的數(shù),求證:

  (1) 當(dāng)x∈N時(shí), x∈G;

 。2) 若x∈G,y∈G,則x+y∈G,而 不一定屬于集合G

  證明(1):在a+b (a∈Z, b∈Z)中,令a=x∈N,b=0,則x= x+0* = a+b ∈G,即x∈G

  證明(2):∵x∈G,y∈G,

  ∴x= a+b (a∈Z, b∈Z),y= c+d (c∈Z, d∈Z)

  ∴x+y=( a+b )+( c+d )=(a+c)+(b+d)

  ∵a∈Z, b∈Z,c∈Z, d∈Z

  ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z

  ∴x+y =(a+c)+(b+d) ∈G,

  又∵ =且 不一定都是整數(shù),

  ∴ = 不一定屬于集合G

  四、小結(jié):本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:

  1、集合的有關(guān)概念:(集合、元素、屬于、不屬于)

  2、集合元素的性質(zhì):確定性,互異性,無(wú)序性

  3、常用數(shù)集的定義及記法

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